Читать онлайн «Комплексные числа и конформные отображения»

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 13 А. И. МАРКУШЕВИЧ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1954 11-2-1 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книжка знакомит читателя с комплексными числами и простейшими функциями от них (включая функцию Н. Е. Жуковского с применением к построению профиля крыла самолёта). Изложению придана геометрическая форма. Комплексные числа рассматриваются как направленные от- отрезки, а функции — как отображения. Чтобы привести чита- читателя к такому пониманию комплексных чисел, мы начинаем с геометрического истолкования действительных чисел и действий над ними. В основу книжки положена лекция, читанная автором для школьников 9-го и 10-го классов. Пред- Предварительного знакомства с комплексными числами от чита- читателя не требуется. Автор А. И. Маркушевич. Комплексные числа и конфориные отображения. Редактор А. Т. Цветков. Техн. редактор Р. /. Неграмовская. Корректор О. А. Сигал. Сдано в набор 6/IV 1У54 г. Подписано к печати 14/V 1У54 г. Бумага 84x108/,,. Физ. печ. л. 1,62. Условн. печ. л. 2,67. Уч. -изд. л. 2,72. Тираж 25000 экз. Т-03145. Цена книги 80 коп. Заказ № 1331. Государственное издательство технико-теоретической литературы Москва, Б. Калужская, 15. 4-я типография им Евг. Соколовой СоючполигррсЪпрома Глзвизяята Министерства культуры СССР. Ленинград, Нзыайловскив пр. . 29. 1. Для геометрического изображения действительных чи- чисел применяется числовая ось, т. е. прямая, на которой за- заданы точка А— начало координат, изображающая число О, и другая точка В, изображаю- изображающая число -+- 1 (черт. 1). а ВС Направление от А к В рас- ^ ° °— сматривается как положитель- положительное направление числовой оси, ЧеРт- 1- отрезок АВ ¦—как единица длины. Любой отрезок АС изображает действительное число х, абсолютная величина которого равна длине отрезка. Если С не совпадает с А (т. е. если это число х не равно нулю), то х положительно, когда направление от А к С совпадает с положительным направлением оси, и отрицательно, когда это направление противоположно положительному направле- направлению оси. 2. Будем рассматривать любые отрезки числовой оси как направленные отрезки — векторы на прямой. У каждого вектора различаем начало и конец, принимая направление от начала к концу за направление вектора. Записывать векторы будем двумя буквами: на первом месте—начало, на вто- втором— конец. Каждый вектор, где бы ни помещалось его начало (не обязательно в А), будет изображать некоторое действительное число, абсолютная величина которого равна длине вектора. Число это положительно, когда направление вектора одинаково с положительным направлением оси, и отрицательно, когда это направление противоположно поло- положительному. Так, например, вектор АВ (начало А, конец В) изображает число -(-1, а вектор В А (начало В, конец А) число —1. 3. Направление вектора можно определить, указав угол между этим вектором и положительным направлением оси. Если направление вектора одинаково с положительным | Зак. 1331.