Читать онлайн «Проблема Борсука»

Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 33 Л. М. Райгородский ПРОБЛЕМА БОРСУКА Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва · 2006 УДК 519. 1+514. 174 ББК 22. 135 Р12 Аннотация Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов. В ней рассказывается об одной из знаменитых задач комбинаторной геометрии — гипотезе Борсука, которая утверждает, что в /г-мерном пространстве всякое ограниченное множество можно разбить на п-\-1 часть меньшего диаметра. Вначале подробно анализируются случаи малых размерностей и доказывается, что при тг=1, 2, 3 гипотеза верна. Далее приводятся различные оценки сверху для числа Борсука в зависимости от размерности. Кроме того, рассматривается связь гипотезы с другими проблемами и задачами комбинаторной геометрии (проблема освещения, задача Грюнбаума, задача о хроматическом числе). В заключительных главах рассматриваются контрпримеры к гипотезе Борсука и история понижения минимальной размерности, в которой строится контрпример, а также улучшения оценки снизу. Многие главы снабжены задачами. Некоторые из них — это упражнения, прорешав которые, читатель лучше прочувствует материал. На некоторые задачи опирается основной текст. Сложные задачи отмечены звёздочками (некоторые являются открытыми проблемами). Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей. От читателя потребуется знание элементарных понятий комбинаторики, а, кроме того, будет полезным (но не обязательным) знакомство с аналитической геометрией и началами анализа. Андрей Михайлович Райгородский Проблема Борсука (Серия: «Библиотека „Математическое просвещение"») М. : МЦНМО, 2006. — 56 с: ил. Редакторы Д. Велътищев, Т. Караваева, Ю. Кузнецова, М. Велътищев Рисунки выполнил Д. Велътищев Техн. редактор М. Велътищев Лицензия ИД № 01335 от 24/Ш 2000 года. Подписано в печать 21/VII 2006 года. Формат бумаги 60X88 У1б. Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 3,5. Тираж 2000 экз. Заказ Брошюра соответствует гигиеническим требованиям к учебным изданиям для общего и начального профессионального образования (заключение государственной санитарно- эпидемиологической службы Российской Федерации № 77. 99. 02. 953. Д. 003873. Об. 04 от 2/VI 2004 года). Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Бол. Власьевский пер. , 11. Тел. (495) 241-72-85, (495) 241-05-00. Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ». 140010, г. Люберцы Московской обл. , Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554-21-86. ISBN 5-94057-249-9 © Райгородский А. М. , 2005. © МЦНМО, 2006. 1. ВВЕДЕНИЕ В этой брошюре мы бы хотели познакомить читателя с одной из наиболее известных, красивых и интригующих задач современной комбинаторной геометрии. Эта задача была предложена в 1933 году замечательным польским математиком Каролем Бор- суком*), и за прошедшие 70 лет она сделалась едва ли не самой популярной в своей области.