Читать онлайн «Введение в спектральную теорию»

Б. М. ЛЕВИТАН, И. С. САРГСЯН ВВЕДЕНИЕ В СПЕКТРАЛЬНУЮ ТЕОРИЮ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1970 517. 2 vo Л 36 УДК 517. 91 Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкно- обыкновенные дифференциальные операторы). Б. М. Левитан, И. С. С ар г с ян. В книге излагаются основные вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений вто- второго порядка и систем двух уравнений первого порядка. Рассмотрены также отдельные важные вопросы, относя- относящиеся к спектральной теории обыкновенных дифферен- дифференциальных уравнений произвольного порядка. Книга состоит из 14 глав. Глава I — Разложение в конечном интервале. Гла- Глава II — Разложение по собственным функциям оператора Штурма — Лыувилля в бесконечном интервале. Глава Ill- Разложение в сингулярном случае для системы Дирака. Глава IV — Исследование спектра. Глава V —Примеры (пояс- (поясняющие на конкретных классических примерах изложен- изложенную в предыдущих главах общую'теорию). В главах VI—VIII излагаются новые методы, в основном созданные авторами, для изучения асимптотического поведения спектральной функции и разложений по собственным функциям опера- оператора второго порядка. В главах IX—XI излагаются те же вопросы, что и в предыдущих трех главах, для систем двух уравнений первого порядка. В главе XII выводится асимптотическая формула для числа собственных значений в случае уравнения второго порядка, заданного в беско- бесконечном промежутке. Глава XIII — Элементы спектральной теории линейных операторов в пространстве Гильберта. Связь с дифференциальными операторами. Глава XIV —Не- —Некоторые теоремы анализа. В книге библиографических названий 134. 2-2-3 201-69 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Глава I. Разложение в конечном интервале 11 § 1. Оператор Штурма—Лиувилля 11 § 2. Асимптотические формулы для собственных значе- значений и собственных функций 16 § 3. Нули собственных функций 27 § 4. Периодические решения 34 § 5. Доказательство теоремы разложения с помощью метода конечных разностей 40 § 6. Доказательство теоремы разложения с помощью метода интегральных уравнений 51 § 7. Доказательство теоремы разложения в периодиче- периодическом случае 58 § 8. Доказательство теоремы разложения методом кон- контурного интегрирования 61 § 9. Уточнение теоремы разложения 67 § 10. Одномерная система Дирака 71 § 11. Асимптотические формулы для собственных зна- значений и собственных вектор-функций 75 § 12. Доказательство теоремы разложения с помощью метода конечных разностей 82 § 13. Доказательство теоремы разложения методом ин- интегральных уравнений 92 § 14. Вычисление регуляризованного следа для опера- оператора Штурма—Лиувилля 105 § 15. Самосопряженные дифференциальные операторы гс-го порядка Ill § 16. Доказательство полноты системы собственных функ- функций для самосопряженного дифференциального опе- оператора 2ге-го порядка методом конечных разностей 119 § 17.