Читать онлайн «Краткий курс математического анализа. Том 1»

УДК 517 ББК 22. 161. 1 К88 Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Диф- Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник. — 3-е изд. , перераб. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 400 с. — ISBN 5-9221-0184-6. Излагаются традиционные разделы математического анализа: диффе- дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, теория рядов. Второе издание — 1998 г. Для студентов физико-математических и инженерно-физических спе- специальностей. Ил. 128. Рецензенты: заведующий кафедрой общей математики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова, академик В. А. Ильин; профессор МФТИ, академик СМ. Никольский. ISBN 5-9221-0184-6 (Т. 1) © ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2005 ISBN 5-9221-0183-8 © Л. Д. Кудрявцев, 2003, 2005 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ГЛАВА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ \ 1. Функции и множества 11 1. 1. Множества A1). 1. 2. Функции A3). J2. Числа 15 2. 1. Действительные числа A5). 2. 2. Расширенная числовая пря- прямая. Окрестности A9). 2. 3. Комплексные числа B0). 2. 4. Пере- Перестановки и сочетания B9). 2. 5. Формула бинома Ньютона C1). \ 3. Элементарные функции 32 3. 1. Числовые функции C2). 3. 2. Понятие элементарной функ- функции C3). 3. 3. Многочлены C4). 3. 4. Разложение многочленов на множители C7). 3. 5. Рациональные дроби D0). 3. 6. Графи- Графики рациональных функций D5). 3. 7. Степенная функция D8). 3. 8. Показательная и логарифмическая функции E0). 3. 9. Три- Тригонометрические и обратные тригонометрические функции E1). 3. 10. Параллельный перенос и растяжение графиков E4). \ 4. Числовые множества 55 4. 1. Ограниченные и неограниченные множества E5). 4. 2. Верх- Верхняя и нижняя грани E6). 4. 3*. Арифметические свойства верх- верхних и нижних граней E8). 4. 4. Принцип Архимеда F1). 4. 5. Прин- Принцип вложенных отрезков F1). 4. 6*. Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел F3). \ 5. Предел числовой последовательности 67 5. 1. Определение предела числовой последовательности F7). 5. 2. Единственность предела последовательности G1). 5. 3. Пере- Переход к пределу в неравенствах G1). 5. 4. Ограниченность сходя- сходящихся последовательностей G4). 5. 5. Бесконечно малые последо- последовательности G5). 5. 6. Свойства пределов, связанные с арифмети- Оглавление ческими действиями над числовыми последовательностями G7). 5. 7. Монотонные последовательности (80). 5. 8. Принцип ком- компактности (83). 5. 9. Критерий Коши (86). 5. 10*. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями (88). 5. 11. Предел последовательности комплексных чисел (94). § 6. Предел и непрерывность функций 95 6. 1. Первое определение предела функции (95). 6. 2. Опреде- Определение непрерывности функции A00). 6. 3. Второе определение предела функции A01). 6. 4. Условие существования предела функции A03). 6. 5. Предел функции по объединению мно- множеств A04). 6. 6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность A05). 6. 7. Свойства пределов функций A07). 6. 8. Бесконечно малые A10). 6. 9. Непрерывные функции A11). 6. 10.