Читать онлайн «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями»

АТИКА Йь? ' ВЫШ/Ш У ИКЛ ' ПМШША iff! " ЯБ _ Я1 Ш NKA <т _Ы ■ ГНКА (^> * ГНКА — Urn ЦКД - Победитепи конкурса по созданию новых учебников Министерства образования России ITi. KpacHOB А. ИЖиселев Г. И. Макаренко шшлм ГТ V; ваша ЗАДАЧИ ПРИМЕРЫ С ПОДРОБНЫМИ РЕШЕНИЯМИ УРСС М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ и примеры с подробными решениями Издание четвертое, исправленное Книга была допущена Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений УРСС Москва • 2002 ББК22. 1б1. 6я73 Краснов Михаил Леонтьевич, Киселев Александр Иванович, Макаренко Цжгорий Иванович Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. Изд. 4-е. , испр. — М. : Едиториал УРСС, 2002. — 256 с. (Вся высшая математика в задачах. ) ISBN 5-354-00013-0 В предлагаемом сборнике задач особое внимание уделено тем вопросам, которые недостаточно подробно освещены в имеющихся пособиях и которые, как показывает опыт, слабо усваиваются студентами. Детально разобраны метод изоклин для уравнений первого и второго порядков, задачи нахождения ортогональных траекторий, линейная зависимость и независимость систем функций. В задачник включено большое число задач на решение линейных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, задачи на устойчивость по Ляпунову, на применение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем. Представлены также метод последовательных приближений, особые решения дифференциальных уравнений, уравнения с малым параметром при производной. Приводится более 100 примеров с подробными решениями. Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, д. 9. Лицензия ИД №05175 от 25. 06. 2001 г. Подписано к печати 22. 01. 2002 г. Формат 60x90/16. Тираж 3000 экз. Печ. л. 16. Зак. №84. Отпечатано в типографии ИПО «Профиэдат». 109044, г. Москва, Крутицкий вал, 18. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на то нет письменного разрешения Издательства. ГЛАВА 1 Дифференциальные уравнения первого порядка § 1. Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у',у",... ,у^пК т. е. уравнение вида Если искомая функция у = у(х) есть функция одной независимой переменной я, дифференциальное уравнение называется обыкновенным ^; например, dy 11 1) f- a?y = 0, 2) у 4- у -f х = cos x} 3) (х — у ) dx — (x + y)dy = 0. Когда искомая функция у есть функция двух и более независимых переменных, например если у = у(х, t), то уравнение вида ду_