Читать онлайн «Вариационное исчисление. Задачи и примеры с подробными решениями»

М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Задачи и упражнения Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. Предлагаемый задачник посвящен важному разделу математики — вариационному исчислению. По стилю и методике изложения предмета он непосредственно примыкает к ранее изданным книгам тех же авторов «Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости» и «Интегральные уравнения». В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, формулы) и подробно разбираются типовые примеры. Задачник содержит свыше ста разобранных примеров и 230 задач для самостоятельного решения. Задачи снабжены ответами, в ряде случаев даются указания к решению. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Предварительные замечания 5 Глава I. Экстремум функций многих переменных 7 § 1. Безусловный экстремум 7 § 2. Условный экстремум 15 Глава II. Экстремум функционалов 22 § 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства 22 § 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера 46 § 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления 61 § 6. Инвариантность уравнения Эйлера 73 § 7. Поле экстремалей 76 § 8. Достаточные условия экстремума функционала 88 § 9. Условный экстремум 103 § 10. Вариационные задачи с подвижными границами 119 § 11. Разрывные задачи. Односторонние вариации 131 § 12. Теория Гамильтона — Якоби. Вариационные принципы механики 140 Глава III. Прямые методы вариационного исчисления 155 § 13. Конечно-разностный метод Эйлера 155 § 14. Метод Ритца. Метод Канторовича 157 § 15. Вариационные методы нахождения собственных значений и 164 собственных функций Ответы и указания 178 Литература 189 ПРЕДИСЛОВИЕ Современному инженеру часто приходится иметь дело с задачами, которые требуют от него хорошей математической подготовки и твердых навыков в при- применении разнообразных математических методов. Рас- Расширение математического кругозора инженеров не- немало способствует новым достижениям техники. Вариационное исчисление является одним из наи- наиболее важных для приложений разделов классиче- классического математического анализа. В настоящее время в ряде втузов вариационное исчисление включено в обязательную программу курса высшей математики. Большое количество задач по вариационному исчис- исчислению содержится в известном сборнике задач Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина. Однако эти задачи, в большинстве своем довольно трудные, даны без указаний к их решению, поэтому начинающему они бывают часто не по силам. Много хороших задач рассеяно по многочисленным курсам вариационного исчисления, но некоторые из этих курсов стали биб- библиографической редкостью. Авторы задались целью дать некоторый минимум задач по основным разделам классического вариа- вариационного исчисления и сознательно не касались во- вопросов, связанных с теорией оптимального управ- управления. 4 предисловие При составлении настоящего задачника авторы ориентировались в основном на книги Л.