Читать онлайн «Ладейные числа и многочлены»

Библиотека <Математическое просвещение> Выпуск 26 К. П. Кохась ЛАДЕЙНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2003 УДК 519. 113/. 118 ББК 22. 19 К75 Аннотация В брошюре рассказано о популярном и очень наглядном ком- бинаторном объекте: ладейных числах и ладейных многочленах. Рассмотрены всевозможные неравенства между ладейными числа- ми. Отталкиваясь от комбинаторных наблюдений, доказана основ- ная теорема о том, что ладейный многочлен любой доски имеет только вещественные корни. Это позволяет вывести много новых, неожиданных с точки зрения комбинаторики неравенств. Вместе с тем, некоторые комбинаторные неравенства ещё ждут своих ана- литических доказательств. Текст брошюры может рассматривать- ся как обзор элементарных результатов о ладейных многочленах. Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции для школьников 9—11 классов, прочитанной ав- тором на Малом мехмате МГУ 21 декабря 2002 года. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересу- ющихся математикой: школьников старших классов, студентов, учителей. Р

И Работа автора над брошюрой поддержана Рос- сийским фондом фундаментальных исследова- ний (грант № 02—01—00093). Издание осуществлено при поддержке Московского департамен- та образования и Московской городской Думы. ISBN 5-94057-114-X © К. П. Кохась, 2003. © МЦНМО, 2003. Константин Петрович Кохась. Ладейные числа и многочлены. (Серия: <Библиотека ,,Математическое просвещение“>. Вып. 26). М. : МЦНМО, 2003. — 20 с. : ил. Редактор Ю. Л. Притыкин. Техн. редактор М. Ю. Панов. Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано в печать 8/VIII 2003 года. Формат бумаги 60×88 1/16 . Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Физ. печ. л. 1,25. Усл. печ. л. 1,22. Уч. -изд. л. 1,24. Тираж 3000 экз. Заказ 3040. Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер. , 11. Тел. 241 05 00. Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП <Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ>. 140010, г. Люберцы Московской обл. , Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86. § 1. ЛАДЕЙНЫЕ ЧИСЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ Рассмотрим обычную шахматную доску и обычную шахмат- ную фигуру — ладью. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две ладьи так, чтобы они не били друг друга? Какое наибольшее число ладей можно поставить на доску так, что- бы каждая ладья била не более двух других? Можно задать много подобных вопросов, наверняка читатель встречал такого рода зада- чи на олимпиадах или в книжках по развлекательной математике (см. , например, книгу [1]). Вопросы, о которых пойдёт речь в этой брошюре, являются естественными обобщениями задач о расстановке ладей. Мы рас- смотрим произвольные доски и обсудим многочисленные свойства ладейных чисел.