Читать онлайн «Динамические системы и модели биологии»

Динамические системы и модели биологии Братусь А. С. , Новожилов А. С. , Платонов А. П. Драфт  Посвящается нашим родителям Драфт. Версия 1. 0. 5. Только для внутреннего пользования. 04. 01. 2011 Оглавление Введение 7 1 Математические модели биологии 10 1. 1 Понятие динамической системы. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1. 2 Качественный анализ дифференциального уравнения . . . . . . . . . . 18 1. 3 Модели роста численности изолированной популяции . . . . . . . . . . 28 1. 4 Математическая модель популяционной вспышки насекомых . . . . . . 34 1. 5 Математические модели рыболовства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1. 6 Модели качественные и количественные . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1. 7 Переход к безразмерным переменным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1. 8 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 Приложения линейных динамических систем 50 2. 1 Анализ устойчивости положения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2. 2 Законы роста организма. Модель размножения клеток . . . . . . . . . . 55 2. 3 Степенной закон эволюции семейств белковых доменов . . . . . . . . . 59 2. 4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 Одномерные динамические системы с дискретным временем 68 3. 1 Простейшие дискретные модели роста популяции . . . . . . . . . . . . . 69 3. 2 Графическая процедура построения решения . . . . . . . . . . . . . . . 72 3. 3 Примеры анализа систем, заданных качественным образом . . . . . . . 75 3. 4 Устойчивость неподвижных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3. 5 Периодические решения. Хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3. 6 Показатель Ляпунова в одномерном случае . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3. 7 Некоторые распространенные модели популяционной динамики . . . . 96 3. 8 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4 Элементы анализа систем с непрерывным временем 102 4. 1 Свойства решений систем дифференциальных уравнений . . . . . . . . 102 4. 2 Классификация положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4. 3 Первые интегралы.