Читать онлайн «Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие»

Н. С. ДЕНИСОВА, О. Ю. ТЕСЛЯ ПОСТРОЕНИЕ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ ВЕЙЛЯ Учебное пособие Москва 2016 УДК 514. 01(075. 8) ББК 22. 151. 1я73 Д 332 Денисова, Наталья Серафимовна. Д332 Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Учебное пособие / Н. С. Денисова, О. Ю. Тес- ля. – Москва: Прометей, 2016 – 82 с. В учебном пособии на основе системы аксиом Вейля вводятся основные понятия и отношения евклидовой геометрии, доказыва- ются основные теоремы евклидовой геометрии, связанные со вза- имным расположением точек, прямых и плоскостей, а также тео- ремы, связанные с равенством отрезков и углов. Пособие содержит задачи с указаниями к решению, которые помогут освоить теоре- тические положения. Для студентов и магистрантов учреждений высшего профессионального образования, а также для желающих овладеть способом построения элементарной геометрии на основе аксиоматики Вейля. ISBN 978-5-9907986-1-8 © Денисова Н. С. , Тесля О. Ю. , 2016. © Издательство «Прометей», 2016. Содержание Введение………………………………………………………. ……. 4 § 1. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость и полнота… …. ……………………... ……7 §2. Прямые и плоскости в пространстве Е3(W). …………. . …. …. 14 § 3. Отрезок, луч, полуплоскость, полупространство, угол, двугранный угол…. …………………………………………... …. . 20 §4. Равенство отрезков и углов…………. ……………………... ... 38 § 5. Параллельность прямых и плоскостей в евклидовом пространстве Е3(W)………………………………... ... ... ... ... ... ... ... . . 51 § 6. Перпендикулярность прямых и плоскостей в евклидовом пространстве Е3(W)……………………………... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 62 § 7. Эквивалентность системы аксиом Вейля и системы аксиом Гильберта трехмерного евклидова пространства……………... ... 72 Литература……………………………………………………. …... . 80 3 Введение Возникновение аксиоматического метода связано с именем Пифагора (VI – V в. до н. э. ), но впервые аксиоматический метод успешно применил Евклид в своей книге «Начала» [9] в III в. до н. э. «Начала» построены следующим образом: сначала даются основные понятия и перечисляются основные допущения – постулаты и аксиомы, затем идут предложения (теоремы), которые Евклид стремился доказать по правилам логики на основании принятых постулатов и аксиом. Аксиоматический метод используется не только как метод построения теории, но и как метод исследования, он применяется не только в математике, но и в других разделах естествознания. В своем развитии аксиоматический метод прошел три этапа: первый этап связан с Евклидом (III в. до н. э. ); второй этап связан с открытием теории множеств Г. Кантором и геометрии Лобачевского (XIX в. ); третий этап связан с возникновением символического исчисления (XX в. ). Всякая аксиоматическая теория строится по следующей схеме: 1. Перечисляются неопределяемые понятия, принимаемые без определения, и неопределяемые отношения. 2.