УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
Ю. А. Самарский
16 июня 2003 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ
по курсу
Теория функций
комплексного неременного
III
по направлению
факультет
кафедра
курс
семестр 5
лекции 51 час
семинарские занятия
34 часа
511600
ФОПФ, ФПМЭ, ФМБФ, ФФКЭ
высшей математики
экзамен
5 семестр
самостоятельная работа
3 часа в неделю
всего часов
85
Программу составили:
Е. С. Половинкин, д. ф. -м. н. , профессор
М. И. Карлов, к. ф. -м. н, ст. препод. Программа обсуждена на заседании кафедры
высшей математики 11 апреля 2003 г. Заведующий кафедрой
Г. Н. Яковлев
1. Комплексные числа. Расширенная комплексная
плоскость. Сфера Римана. Последовательности и ряды. Понятие функции комплексного переменного. Непрерывные
функции.
2. Дифференцирование по комплексному переменному. Условия Коши-Римана. Понятие функции, регулярной
(голоморфной) в области. Сопряженные гармонические
функции двух переменных.
3. Элементарные функции комплексного переменного:
степенная, рациональная, показательная и
тригонометрическая, их свойства. Теорема об обратной функции. Понятие
о многозначной функции и ее регулярных ветвях. Главные
регулярные ветви многозначных функций { \/z} и Lnz.
4. Интегрирование по комплексному переменному. Интегральная теорема Коши для регулярных функций.
Интегральная формула Коши (интеграл Коши). Интеграл
типа Коши, его регулярность.
5. Сугцествование первообразной для функции, регулярной
в односвязной области. Формула Пьютона-Лейбница. Теорема Мореры.
6. Степенные ряды, первая теорема Абеля, радиус и круг
сходимости. Ряд Тейлора для регулярной функции. Теорема Вейерштрасса для равномерно сходягцихся рядов из
регулярных функций.
7. Ряд Лорана и его кольцо сходимости. Разложение
регулярной функции в ряд Лорана, его единственность и
неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Теорема
единственности для регулярных функций.
8. Изолированные особые точки однозначного характера, их
классификация . Нахождение особой точки по главной
части ряда Лорана.
9. Вычеты. Вычисление интегралов с номогцью вычетов. Лемма Жордана.
10. Прирагцение аргумента z вдоль гладкого контура, его
интегральное представление, логарифмическое свойство и
свойство устойчивости. Прирагцение аргумента функции
f{z) вдоль непрерывного контура. Обгций вид регулярных
ветвей многозначных функций Ln z ж { \/z} в односвяз-
ной области, не содержагцей нуля. Условия сугцествования
и обгций вид регулярных ветвей многозначных функций
Ln/(z) и { V/(^)}- Вычисление интегралов от
регулярных ветвей многозначных функций.
11. Целые функции. Теорема Лиувилля, теорема Сохоцкого-
Вейерштрасса и теорема Пикара (последняя без
доказательства) для целых функций.
12. Мероморфные функции. Теорема о разложении в сумму
элементарных дробей мероморфной функции (в обгцем
случае, т. е. когда ее полюсы могут иметь любой порядок). Формула для ctgz.
13. Понятия об аналитическом продолжении элементов друг
в друга с номогцью конечной цепочки элементов и вдоль
контура, эквивалентность этих понятий.