Читать онлайн «Программа и задания по теории функций комплексного переменного»

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю. А. Самарский 16 июня 2003 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по курсу по направлению факультет кафедра курс семестр лекции семинарские всего часов III 5 51 час занятия 34 часа 85 Теория функций комплексного неременного 511600 ФАЛТ высшей математики экзамен 5 семестр самостоятельная работа 3 часа в неделю Программу составил Л. П. Купцов, к. ф. -м. н. , доцент Программа обсуждена на заседании кафедры высшей математики 11 апреля 2003 г. Заведующий кафедрой Г. Н. Яковлев 1. Комплексные числа и действия с ними. Распхиренная плоскость. Сфера Римана. Предел последовательности. Непрерывные функции комплексной переменной. 2. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус и круг сходимости. Формула Коши-Адамара. Почленное дифференцирование степенного ряда. 3. Дифференцирование по комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Регулярные (голоморфные) функции. 4. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Однолистные функции. Теорема об обратном отображении. Конформность в точке и в области. Конформные отображения. 5. Элементарные функции и задаваемые ими отображения: az + 6, z^, е^, тригонометрические и гиперболические функции, дробно-линейная функция, функция Жуковского. 6. Многозначные функции. Функции \/~z и Lnz, обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции, обгцая степенная функция и их римановы поверхности. Непрерывные и регулярные ветви многозначной функции. 7. Криволинейные интегралы. Основные свойства. Первообразная. Её сугцествование. Формула Ньютона- Лейбница. Почленное интегрирование степенного ряда. 8. Интегральная теорема Коши и её обобгцения. 9. Интегральная формула Коши. Дифференцирование интеграла Коши. Бесконечная дифференцируемость регулярной функции. Оценка Коши. Теорема Лиувилля. Интеграл типа Коши. 10. Теорема Морера. Лемма о стирании пунктира. 11. Равномерно сходягциеся последовательности и ряды регу- лярных функций. Теоремы Вейерштрасса о регулярности предельной функции. 12. Ряд Тейлора. Теорема о разложении регулярной функции в ряд Тейлора. Единственность. Теорема Коши-Адамара о сугцествовании особой точки на границе круга сходимости. 13. Ряд Лорана. Теорема о разложении регулярной (в кольце) функции в ряд Лорана. Единственность. 14. Изолированные особые точки однозначного характера. Классификация. Теоремы Сохоцкого и Пикара. Целые и мероморфные функции. 15. Теорема единственности. Аналитическое продолжение. Полная аналитическая функция. Теорема о монодромии и её применения в задаче о выделении регулярных ветвей. Особые точки аналитической функции. Точки ветвления. 16. Вычет. Теорема Коши о вычетах. Вычисление вычета в случае полюса. Вычет в бесконечно удалённой точке. Вычисление определённых интегралов с номогцью вычетов. Лемма Жордана. Функции матричного аргумента. 17. Метод расширяюгцихся контуров Коши-Пуанкаре: разложение мероморфной функции в сумму простейших дробей, разложение целой функции в бесконечное произведение; суммирование рядов. 18. Логарифмический вычет. Теорема о числе нулей и полюсов.