Читать онлайн «Математически анализ. Вводная лекция для первого курса»

В. А. ЗОРИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (Вводная лекция для первого курса) Содержание Два слова о математике. Число, функция, закон. Математическая модель явления. (Дифференциальное уравнение или учимся писать. ) Скорость, производная, дифференцирование. Высшие производные, зачем? Снова к числу. И что теперь? Два слова о математике. Математика — наука абстрактная. Например, она учит сложению, не спрашивая, считаем ли мы ворон, капитал или что-то ещё. Поэтому математика одна из самых универсальных и общеупотребительных прикладных наук. В ней как науке, конечно, есть и ещё кое-что, почему к математике обычно относятся с уважением: она учит слышать аргумент и ценить истину. Число, функция, закон. К чудесам люди привыкают быстро и «Не может быть???» вскоре незаметно превращается в «Не может быть иначе!!!». Мы уже настолько свыклись с тем, что 2 + 3 = 5, что не видим тут никакого чуда. А ведь тут не сказано, что два яблока и ещё три яблока будет пять яблок, а сказано, что это так и для яблок, и для слонов, и для всего прочего. Это мы уже отметили. Потом мы свыкаемся с тем, что а + b = b + а, где теперь уже символы а и b могут означать и 2, и 3, и любые целые числа. Функция, или функциональная зависимость, — это очередное математическое чудо. Оно сравнительно молодо: ему, как научному понятию, всего три с небольшим сотни лет, хотя в природе и даже в быту мы с ним сталкиваемся никак не реже, чем со слонами или даже с теми же яблоками. Каждая наука или область человеческой деятельности относится к какой-то конкретной сфере объектов и их взаимосвязей. Эти связи, зависимости, законы математика описывает и изучает в отвлеченном и потому общеполезном виде, объединяя их термином функция или функциональная зависимость у = f(x) состояния (значения) одной величины (у) от состояния (значения) другой (х). Особенно важно то, что теперь уже речь не о постоянных, а о переменных величинах х и у, связанных законом /. Функция приспособлена к описанию развивающихся процессов и явлений, к описанию характера изменения их состояний и вообще к описанию зависимостей переменных величин. Иногда закон / связи известен (дан) (например, государством или технологическим процессом) и тогда в условиях действия закона / мы, например, часто стараемся так выбрать стратегию, т. е. 4 состояние (значение) доступной нашему выбору независимой переменной х, чтобы получить наиболее благоприятное для нас в том или ином отношении состояние (значение) нужной нам величины у (учитывая, что у = f(x)). В других случаях (и это даже интереснее) ищется сам закон природы /, связывающий явления. И хотя это дело конкретных наук, математика и здесь бывает удивительно полезна потому, что часто по казалось бы очень малой исходной конкретной информации, которой располагают те или иные профессионалы, она, подобно Шерлоку Холмсу, способна сама дальше найти закон / (решая или исследуя некоторые новые, так называемые дифференциальные уравнения, которых не было у древних математиков и которые возникли с появлением дифференциального и интегрального исчисления на рубеже XVII-XVIII веков усилиями Ньютона, Лейбница, их предшественников и последователей).