Читать онлайн «Квазиконформные отображения и асимптотическая геометрия многообразий»

Р11ВЫСАТ1СЖ8 БЕ Ь'ШЗТГШТ МАТНЕМАТ^ИЕ 1Чоиуе11е зёНе, Юте 75(89) B004), 25-52 КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ В. А. Зорич М. А. Лаврентьеву7 Б. В. Шабату, П. П. Белинскому с благодарной памятью Резюме. В статье-обзоре рассказано о некоторых вопросах и результа- результатах теории квазиконформных отображений (в основном пространствен- пространственной теории и в основном в геометрическом аспекте). Прослежено разви- развитие идей от первоисточников до их современной реализации и указан ряд новых задач, естественно выросших из найденных решений старых. Содержание 1. Квазиконформное отображение 26 2. Квазиконформные отображения в многомерном случае 29 3. Теорема о глобальном гомеоморфизме 32 Асимптотика допустимого роста коэффициента квазиконформности 32 Радиус инъективности 33 4. Переход к римановым многообразиям 33 5. Конформные инварианты 34 Конформная ёмкость 34 Модуль 35 Множества нулевой ёмкости 35 Конформная инвариантность ёмкости и модуля 35 6. Конформный тип риманова многообразия 36 7. Асимптотическая геометрия и конформный тип многообразия 37 2000 МаНьетаЫсз ЗиЦесг СЫззфсаЫоп. Рптагу 30С65; Зесопёагу ЗОРЮ, 53С20, 53А30. Этот обзор является обновленным вариантом одноименной статьи автора в Успехах Матем. Наук 57:3, B002). Он печатается с любезного разрешения автора и редколлегии журнала УМН. 26 Зорич Изопериметрическое неравенство 38 Двусторонняя оценка конформной ёмкости конденсатора и признаки конформного типа многообразия 38 Приведение к линейному виду изопериметрической функции на многообразии конформно-гиперболического типа 40 8. Конформно-инвариантная форма теоремы о глобальном гомеоморфизме 41 Изолированная особенность 42 Теорема Пикара 43 9. Некоторые открытые вопросы 44 Нелинейные операторы 44 Асимптотика радиуса инъективности 44 Стирание особенностей 44 Вопрос Новикова 45 Квазиконформная изотопия 46 Субримановы многообразия 46 10. Заключительные замечания 48 Литература 48 В статье рассказано о некоторых задачах и результатах близкой мне части математики. Каждый, кто упомянут в посвящении, внес в эту область свой, возможно, разный по масштабам, но запоминающийся этапный вклад, стиму- стимулировавший дальнейшие, в том числе и мои, исследования. Изложение будет по-возможности в хронологической последовательности. Это позволит просле- проследить, как решение одних проблем пораждает много новых (занятия наукой — дело продуктивное). 1. Квазиконформное отображение п > Шп Образом шара при невырожденном линейном отображении Ь : является эллипсоид, который сам является шаром в точности тогда, когда Ь — конформное (сохраняющее углы) отображение. Значит, отношение кь := Ап/А1 наибольшей полуоси эллипсоида-образа к его наименьшей полуоси (или, скорее, \о$кь) может служить мерой отклонения отображения от конформ- конформности. Величина кь называется коэффициентом квазиконформности ото- отобраэюения Ь. (Заметим, и это нам будет полезно ниже, что на языке теории операторов кь = \\Ь\\ ■ ЦЬ^Ц. ) Если теперь / — диффеоморфизм области В с Мп на область $(В) С Мп, то, рассмотрев в каждой точке х (Е В касательное отображение /'(ж), можно подсчитать величину к^(х) := к^^, называемую коэффициентом квазикон- квазиконформности отобраэюения / в точке х (Е В.