Читать онлайн «Методические разработки для учащихся по теме ''Треугольники и многоугольники''»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МАЛЫЙ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ПО ТЕМЕ . 'ТРЕУГОЛЬНИКИ И МНОГОУГОЛЬНИКИ" М О С К В А - 1981 к •3!saa»*=;^«dFCTi%»^»*3&E>si' I. Это задание посвящено теме "Треугольники и многоугольники"» В начале мы приведем решение нескольких задач* Желательно» чтобы их внимательно разобрали» так как метода их решения типичны в планиметрии, а утверждения этих задач являются "ключом" к решению ряда задач планиметрии. Хотелось бы также в приведенных примерах обратить Ваше внимание на форму изложения решения (правильное оформление играет важную роль при решении геометрических задач). I. Доказать, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезу*, пропорциональные щшлежащим сторонам треугольника» Решение♦ В треугольнике Л&ь возьмем биссектрису/«£ JyraaZ^Ps Проведем через вершину ^ пряную £ » параллельную пряиЫИ ВС ). Прямые (ЛВ ) х (ВС ) пересекаются, поэтому яавдется точка *-* пересечения прямых Из свойствпарадльельных прямых» пересекающих стороны угла, (см. Геометрия п. 81)» аледует, что имеет место соотношение ты _ ип IBB1 \ССЦ'. /aft. i it>f bt>y» Остается доказать равенства /оС|я|оо(. Углн^Д*-4- i^PPL- совавравлвЕн (ем* Геем. д. 32), поэтому ♦ Углы ЛВС juBCB Центрально симметричны относительно середины " отрезка fBCj t значит, они коягргоииы* Биссектриса [рС J делитдгел^^ слЪС* пополам» поэтому -До£ -С/3 С f следовательноt ВСВ^ВЬС. В треугольнике ВВ£ против конгруэнтных углев^ ВВС ж * В£В должны находиться конгруодае стороны |BBJ ж [BuJ (ем. Геем. п. 42), что влечет иокомое равенство* Вы видите, что при решении этой задачи мы произвели дрвелни- тельиые постороения, кеторме позволили нам свести ее к известней из курса геометрии залече шб отношении отрезков, нолучащихся нри пересечении сторон угла параллельными прямыми. Заметим, что дополнительные построения часто оказываются полезными при решении геометрических задач, так как они дают возможность приводить "разнородные"' по формулировкам задачи к уже известным из курса геометрии. Примером может служить также следующая задача, которая решается тем же способом, что и первая. 2. Доказать,что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 1:2 (считая от соответствующей стороны). Решение. Заметим вначале, что если мы докажем, что каждая медиана в треугольнике делится любой другой медианой в отношении 1:2, тс отсюда следует, что медианы пересекаются в одной точке. Докажем выполнение данного соотношения. Возьмем в треугольнике ЯбС медианы [&MJ и [СК/ # следовательно, |ЙК|Щ|КВ| . Проведем через точку М прямую, параллельную прямой ( СК )• Ода должна пересечь отрезок [/Ж] в некоторой точке L • Из теоремы Фалеса (см. Геом» п. 38) (т. к. отрезки [ЯМ] * [МС] конгруэнтны) следует, что (ЙЬ|в|КЦ , значит |KLpy|Kb| • Из теоремы е параллельных прямых, пересекающих стороны угла, получим искомое соотношение ШИ eiz£L «4т |В0| 1ВК| 2 ; 3.