Сибирский математический журнал
Июль—август, 2007. Том 48, № 4
УДК 517. 518
НЕЛИНЕЙНЫЕ
АЛГЕБРО–ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
А. А. Щеглова
Аннотация: Рассматривается система нелинейных обыкновенных дифференци-
альных уравнений, неразрешенная относительно производной искомой вектор-фун-
кции и тождественно вырожденная в области определения. Получены условия су-
ществования оператора, преобразующего исходную систему к нормальной форме,
доказана общая теорема о разрешимости задачи Коши. Ключевые слова: алгебро-дифференциальная система, приведение к нормальной
форме, существование решения, задача Коши.
1. Введение. Рассматривается система нелинейных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (ОДУ):
F (t, x(t), x (t)) = 0, t ∈ T = [t0 , t1 ), (1)
где n-мерная вектор-функция F (t, x, y) определена в области D = {(t, x, y) :
t ∈ T, x − x̄ < K0 , y − ȳ < K1 } ⊂ R2n+1 ; x(t) — искомая n-мерная вектор-
функция. Предполагается, что F (t, x, y) имеет в D достаточное число непре-
рывных частных производных по каждому из своих аргументов и
∂F (t, x, y)
det = 0 ∀(t, x, y) ∈ D. (2)
∂y
Системы вида (1), удовлетворяющие условию (2), называют алгебро-диффе-
ренциальными системами (АДС)1) . В литературе используются и другие тер-
мины: дифференциально-алгебраические уравнения (differential-algebraic equa-
tions),
дескрипторные системы, сингулярные системы, вырожденные системы ОДУ. Вопросы терминологии и области приложений подробно обсуждаются в моно-
графиях [1, 2]. Начало систематическому исследованию АДС было положено независимо
друг от друга группами математиков в СССР и США, хотя отдельные резуль-
таты были получены значительно ранее [3, 4]. В начале восьмидесятых центры
по изучению АДС возникли в Германии и в других странах, в частности в
Швейцарии. За последние годы опубликованы сотни работ, посвященных каче-
ственной теории АДС и численным методам их решения (см. библиографию в
книгах [1, 5]).
Тем не менее некоторые теоретические вопросы остаются дискус-
сионными, что в полной мере относится к проблеме разрешимости существенно
нелинейных АДС.
1) Термин «алгебраическое уравнение» понимается в данном случае в расширенном смыс-
ле: под алгебраическими подразумеваются любые конечные уравнения, а не только уравне-
ния, задаваемые полиномами.
c 2007 Щеглова А. А.
932 А. А. Щеглова
В работах математиков из США (см. , например, [5–7]) для решения и ис-
следования АДС широко используются продолженные системы. Под r-продол-
женной системой понимается совокупность АДС (1) и r ее полных производных
по t: ⎛ F (t, x, x ) ⎞
⎜ d F (t, x, x ) ⎟
Fr (t, x, x , . . . , x(r+1) ) = ⎝ dt ⎠ = 0. (3)
d r . . .
dt F (t, x, x )
В теории АДС мерой неразрешенности системы относительно производной
искомой вектор-функции служит целочисленная величина, называемая индек-
сом.