Читать онлайн «Численные алгоритмы классической матфизики. XIX. Основная бигармоническая проблема»

Институт проблем механики Российской Академии Наук С. Д. Алгазин ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТФИЗИКИ. XIX. Основная бигармоническая проблема. Препринт № 854 Москва 2008 г. Аннотация. В работе приводится методика численного решения основной бигармонической проблемы. Построен численный алгоритм без насыщения, который позволяет для большого класса областей построить решение с высокой точностью на редкой сетке. Приводятся тексты программ на Intel Фортране (включающем Фортран 90, Фортран 95 и элементы Фортрана 2003). Таким образом, решена задача табулирования решений основной бигармонической проблемы в гладких областях. The summary. In work the technique of the numerical decision of the basic biharmonic problem is resulted. The numerical algorithm without saturation which allows constructing for the big class of areas the decision with high accuracy on a rare grid is constructed. Texts of programs on Intel the FORTRAN (including the FORTRAN 90, the FORTRAN 95 and elements of the FORTRAN 2003) are resulted. Thus, the task of tabulation of solutions of the basic biharmonic problem in smooth areas is solved. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Проект № 08-01-00207. 055(02)2  Институт проблем механики РАН 2008 2  Введение. В этом препринте результаты главы 3 книги [1] обобщаются на случай бигар- монического уравнения. Рассматривается основная бигармоническая проблема, т. е. краевая задача для бигармонического уравнения, когда на границе заданы значения решения и его нормальной производной. Для круга матрица дискретной задачи содержит h-матрицу [1], которая имеет большое количество повторяющихся элементов, и поэтому возможно организовать расчёты на сетке из большого числа точек. Это обстоятельство можно использовать при решении краевой задачи, например, основной бигармонической проблемы. Как известно, к основной бигармонической проблеме сводятся плоские задачи теории уп- ругости, и поэтому она имеет важное практическое значение. Отметим, что задачи для бигармонического уравнения более трудные, чем для уравнения Лапласа, и требуют для расчётов сетки с большим числом точек. Результаты этого препринта основаны на идеях построения численных алгоритмов без насыщения [2]. §1. Численное решение основной бигармонической проблемы Рассмотрим основную бигармоническую проблему, т. е. краевую задачу (1. 1) - (1. 3) ∆ 2u(= z ) F ( z ), z ∈ G, (1. 1) u ∂G = Χ( z ), (1. 2) ∂u = Ψ ( z ). (1. 3) ∂n ∂G Будем предполагать, что F, Χ, Ψ - достаточно гладкие функции, а G - область с гладкой границей дG; n - единичный вектор внешней нормали к дG.