Читать онлайн «О решетках, вложимых в решетки подгрупп. V. Деревья»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2007. Том 48, № 4 УДК 512. 56 О РЕШЕТКАХ, ВЛОЖИМЫХ В РЕШЕТКИ ПОДПОЛУГРУПП. V. ДЕРЕВЬЯ М. В. Семёнова Аннотация: Показано, что класс конечных решеток, вложимых в решетки подпо- лурешеток, являющихся (n-арными) деревьями, аксиоматизируется тождествами в классе конечных решеток и поэтому образует псевдомногообразие. Ключевые слова: полурешетка, решетка подполурешеток, многообразие, дерево. § 1. Введение Настоящая работа является продолжением [1–4]. Пусть S — класс решеток, изоморфных решеткам подполурешеток полу- решеток и T — класс решеток, изоморфных решеткам подполурешеток, яв- ляющихся деревьями. Напомним, что полурешетка T, ∧ является деревом, если множество ↓ a образует цепь для любого a ∈ T . Классы S и T изу- чались несколькими авторами. Оказывается, что решетка CSub S выпуклых подполурешеток полурешетки S полудистрибутивна вверх, т. е. удовлетворяет квазитождеству ∀x ∀y ∀z (x ∨ y = x ∨ z → x ∨ y = x ∨ (y ∧ z)) тогда и только тогда, когда S является деревом. Этот факт был независимо установлен в работах К. В. Адаричевой [5], Л. Либкина и В. Гурвича [6], Чеонг и Джоунса [7]. Отсюда и из предложения 3. 1 в [8] следует, что полурешетка S — дерево в том и только том случае, когда решетка CSub S является ре- шеткой замыканий выпуклой геометрии. Напомним, что выпуклой геометрией называется пространство замыкания (X, ϕ), имеющее свойство антизамены: a ∈ ϕ(Y ∪ {b})\ϕ(Y ), / ϕ(Y ∪ {a}) a = b влечет b ∈ для любых a, b ∈ X и любого Y ⊆ X. Последний результат в явном виде сформулирован в работах [6, 7]. В. Б. Репницкий показал в [9], что класс S(S ) решеток, изоморфных под- решеткам решеток подполурешеток полурешеток, совпадает с классом всех ре- шеток. К. В. Адаричева [10] и В. Б. Репницкий [11] независимо показали, что конечная решетка принадлежит классу S(S ) тогда и только тогда, когда она ограничена снизу. Кроме того, К. В. Адаричева в [12] дала некоторое (довольно сложное) описание конечных решеток из класса S . Работа выполнена при финансовой поддержке ИНТАС (грант 03–51–4110), совместно- го гранта РФФИ и Немецкого научного общества 06–01–04002–ННИО а, гранта «Ведущие научные школы РФ» (код проекта НШ–4413. 2006. 1), гранта Президента РФ для поддержки молодых кандидатов наук (МК–3988. 2007. 1) и молодежного проекта СО РАН (№ 11). c 2007 Семёнова М. В. О решетках, вложимых в решетки подполугрупп 895 В связи с отмеченными результатами возникают следующие проблемы. (1) Описать класс S(T ) решеток, вложимых в решетки подполурешеток деревьев. (2) Описать класс S(T ) ∩ Fin конечных решеток, вложимых в решетки подполурешеток деревьев. В настоящей работе мы указываем несколько нетривиальных решеточных тождеств, выполняющихся на решетках подполурешеток деревьев.