Читать онлайн «Тригонометрические ряды Фурье»

Московский физико-технический институт (государственный университет) О. В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 2004 Составитель О. В. Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды Фурье. Учебно-методическое пособие (для студентов 2-го курса). МФТИ. М. , 2004. 31 с. В соответствии с программой кафедры высшей математики МФТИ излагаются начальные сведения по теории тригономе- трических рядов Фурье, теоремы о сходимости и равномерной сходимости рядов Фурье, теоремы Вейерштрасса об аппрокси- мации непрерывных функций. В центре внимания вопросы равномерной сходимости ряда Фурье. В отличие от многих курсов математического анализа, равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной и кусочно- гладкой функции доказывается с неулучшаемой оценкой скоро- сти сходимости ряда Фурье. Зависимость скорости сходимости ряда Фурье функции от ее гладкости также устанавливается вместе с точными оценками. c Московский физико-технический институт, 2004 c О. В. Бесов, 2004  3 Содержание § 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 § 2. Сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . 10 § 3. Равномерная сходимость ряда Фурье . . . . . 13 § 4. Приближение непрерывных функций многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 § 5. Почленное дифференцирование тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Заключительное замечание . . . . . . . . . . . 30  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации Определение 1. 1. Ряд вида ∞ a0 X + ak cos kx + bk sin kx (ak , bk ∈ R) 2 k=1 называется тригонометрическим рядом. Множество функций 1 , cos x, sin x, cos2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, . . . 2 называется тригонометрической системой. Тригонометрическая система функция является ортогональ- ной системой в том смысле, что Z π cos kx cos mx dx = 0, k, m ∈ N0 , k 6= m, −π Z π sin kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N0 , k 6= m, Z −π π cos kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N0 , m ∈ N. −π Кроме того, Z π Z π 2 cos kx dx = sin2 kx dx = π, k ∈ N. −π −π Лемма 1. 1. Пусть ∞ a0 X f (x) = + ak cos kx + bk sin kx, (1. 1) 2 k=1  §1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 5 и этот ряд сходится равномерно на R.