Читать онлайн «Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 1»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть 1 • Рациональные неравенства (метод интервалов) • Уравнения высших степеней • Уравнения и неравенства с модулем Издание одиннадцатое, дополненное Москва 2014 ББК 22. 1 я 729 УДК 373. 3 Учебно-методическое пособие Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по мате- матике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их реше- ний). Часть 1. Рациональные неравенства (метод интервалов). Уравнения высших степеней. Уравнения и неравенства с моду- лем. Изд. 11-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносо- ва”. 2014. - 64 c. В пособии рассматриваются рациональные неравен- ства (метод интервалов), уравнения высших степеней, уравнения и неравенства с модулем. Предпринята по- пытка систематизации типов встречающихся задач и методов их решений. Схема решений уравнений опреде- ленного вида подобрана таким образом, чтобы решение было наиболее простым. К задачам даны ответы, а к некоторым ключевым задачам даны и решения. Предназначено для абитуриентов МГУ, выпускни- ков школ при подготовке к ЕГЭ, для слушателей под- готовительных отделений и курсов, учащихся матема- тических классов. Рецензент: д. ф. -м. н. , Богатый С. А. 1702070000 − 08 Г Без объявл. 3Ш7(03) − 02 ISBN 5-87597-024-3 ⃝ c Галеев Э. М. , 2014 г. ⃝ c Издательство “Попечительский совет мех-мат. ф-та МГУ”, 2014 г. Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 Рациональные неравенства (метод интервалов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1. 1 Простейшие рациональные неравенства . . . 11 1. 2 Учет кратности корня . . . . . . . . . . . . . 14 1. 3 Метод интервалов на ОДЗ. Монотонность корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1. 4 Неравенства с многочленами высших степеней 18 2 Алгебраические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. 1 Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . 19 2. 2 Деление многочленов . . . . . . . . . . . . . . 20 2. 3 Отыскание целых корней . . . . . . . . . . . . 21 2. 4 Отыскание рациональных корней . . . . . . . 22 2. 5 Разложение многочлена на множители . . . . 23 2. 6 Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. 7 Симметрические уравнения . . . . . . . . . . 25 2. 8 Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . 27 2. 9 Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . 27 2. 10 Уравнения, решающиеся введением параметра 27 2. 11 Функциональные уравнения . . . . . . . . . . 28 2. 12 Исследование функций . . . . . . . . . . . . . 28 2. 13 Уравнения с несколькими переменными . . . 29 2. 14 Многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Уравнения с модулем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. 1 Уравнения вида |f | = g . . . . . . . . . . . . . 32 3 4 3. 2 Уравнения вида |f | = |g| . . . . . . . . . . . . 35 3. 3 Уравнения c несколькими модулями . . . . . 35 3. 4 Уравнения c модулем в модуле . . . . . . . . 38 3. 5 Системы уравнений c модулями . . . . . . . . 39 4 Неравенства с модулем . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4. 1 Неравенства вида |f | < g . . . . . . . . . . . . 41 4. 2 Неравенства вида |f | > g . . . . . . . . . . . . 43 4. 3 Неравенства вида |f | > |g| . . . . . . . . . . . 44 4. 4 Неравенства c несколькими отдельно стоя- щими модулями . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. 5 Неравенства c модулем в модуле . . . . . . . 48 4. 6 Метод интервалов в неравенствах с модулями 49 Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Предисловие Пособие состоит из четырех параграфов: рациональные неравен- ства (метод интервалов), уравнения высших степеней, уравнения с модулем, неравенства с модулем.