Читать онлайн «Жорданова форма матрицы и жорданов базис: Практическое пособие по курсу ''Алгебра и геометрия''»

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т Р У К О ВО Д С ТВО К Р Е Ш Е Н И Ю ЗА Д А Ч П О А Л Г Е БР Е Ч А С ТЬ II Ж ордановаформ а м атрицы и жордановбазис Практич еское пособие покурсу “А лгебраи геометрия” д лястуд ен тов по специальн ости “Приклад н аяматематикаи ин ф орматика”(010200) В орон еж 2003  2 У тв ерж д ен о н ауч н о-метод ич ескимсов етомф -таПМ М ( 2. 04. 03 , протокол № 6 ) Состав ители: У д од ен ко Н иколай Н иколаев ич Глуш аков аТ атьян аН иколаев н а Практич еское пособие под готов лен о н а каф ед ре в ы ч ислительн ой математики ф -та ПМ М и н а каф ед ре алгебры и топологич еских метод ов ан ализа ма- тематич еского ф акультетаВ орон еж ского госуд арств ен н ого ун ив ерситета. Рекомен д уется д лястуд ен тов 1-го курсаф акультетаПМ М и математич еского ф акультета.  3 §1. С обственныевекторы и собственные значения оператора. Ж орданова форм а м атрицы и жорданов базис Рассмотрим лин ейн ы й оператор A в простран ств е E (dim E = n) и пусть Ae – матрицаэ тогооператорав н екоторомбазисе {ei }ni=1 . О пред елен ие 1. det( Ae − λI ) = ϕ (λ ) н азы в аетсяхарактеристическим м ног очл еном матрицы Ae ( I – ед ин ич н аяматрицапоряд ка n ). О пред елен ие 2. В ектор x ≠ 0 н азы в ается собств ен н ы м в ектором оператора A , если Ax = λx , а λ – собств ен н ы м зн ач ен ием оператора A , соотв етств ую щимсобств ен н ому в ектору x . 1. 1. А л г оритм нахождения собственног о значения и собственног о вектораоператора 1) Н айд ем в се корн и х арактеристич еского мн огоч лен а ϕ ( λ ) = det( Ae − λI ) , получ им λ1 , λ 2 , ... , λk – спектр оператора (мн ож еств о в сех собств ен н ы х зн ач ен ий); 2) под став им λ = λ1 в систему ( Ae − λI ) x = 0 , реш им ее и н ай д ем в се собств ен н ы е в екторы , отв еч аю щие собств ен н ому зн ач ен ию λ1 , затемпод став им λ2 и т. д . 1. 2. А л г ебраическая и г еом етрическая кратности собственног о значения О пред елен ие 3. К ратн ость корн я λi в х арактеристич еском мн огоч лен е ϕ (λ ) н азы в аетсяал г ебраической кратностью собственног о значения λi . О пред елен ие 4. Г еом етрической кратностью ki собств ен н ого зн ач ен ия λi н азы в аетсяразмерн ость собств ен н ого под простран ств аоператора A L (λi ) = {x : Ax = λi x}. У тверждение. k i = n − rang ( Ae − λi I ) , гд е n – поряд ок матрицы оператора A . Теорем а. О ператор A в базисе e1 , e2 , ... , en имеет д иагон альн ую матрицу Ae в том и только том случ ае, когд а базисн ы е в екторы ei (i = 1, 2, ... , n) – собств ен н ы е, то есть α i = ki д ляв сех i . 1. 3.