Читать онлайн «Введение в нелинейную физику»

министерство ооразования госсиискои Федерации Томский политехнический университет А. В. Шаповалов ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ФИЗИКУ Учебное пособие Томск 2002 Шаповалов А. В. Введение в нелинейную физику. Учебное пособие. - Томск: Изд. ТПУ. 2002 - 129 с. Настоящее учебное пособие приготовлено на основе курса лекций, который автор читает на протяжении ряда лет на физическом факультете в Томском государственном университете. В пособии рассмотрен небольшой набор тем, получивших широкое распространение в науч- научной литературе и оказавших значительное влияние на развитие нелинейной физики и математи- математики. Каждая тема содержит то или иное явление, с которым обычно ассоциируется представление о наиболее характерных особенностях проявления нелинейности. Для студентов, магистрантов и аспирантов, обучающихся по специальности "физика". Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Томского политехнического университета Рецензенты: Кистенев Ю. В. заведующий кафедрой физики Сибирского медицинского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор Бордовицын В. А. профессор кафедры теоретической физики Томского государственного университета доктор физико-математических наук, профессор Учебное пособие выполнено при финансовой поддержке Министерства образования РФ, грант No E 00-1. 0-126. Темплан 2001 © Томский политехнический университет, 2002 ± введение В данном курсе изучаются нелинейные дифференциальные уравнения в частных производ- производных, описывающие различные физические нелинейные процессы и явления. Дифференциальное уравнение в частных производных в общем случае можно записать сле- следующим образом. Обозначим х = (ж1: ж2,. . . , хп) ? IRn, IRn — вещественное п- мерное про- пространство, Xi ? Ж1, Ж1— множество вещественных чисел, г = 1,п. Пусть и(х) — вещественная функция. Тогда дифференциальное уравнение в частных производных порядка г имеет вид F(x, u(x), du(x)/dxi} d2u(x)jdxildxi21... ... ,dru(x)/dxil... dxir) = 0. A. 1) Здесь F — вещественная функция указанных аргументов. (Для определенности все функции будем считать вещественными и дифференцируемыми класса С°°). Уравнение A. 1) линейно, если для него выполняется принцип суперпозиции решений: если щ(х), и2(х) - два решения уравнения A. 1), тогда их линейная комбинация a-\_Ui(x)-\- a2U2(x), «i,a2 ? Ж1 также является решением этого уравнения. Методы исследования линейных урав- уравнений во многом основаны на этом принципе. Для нелинейных уравнений принцип суперпозиции решений не выполняется. Нелинейные явления оказываются более сложными и разнообразными и требуют специальных методов ана- анализа. Исследование нелинейных процессов и их моделей выявило ряд характерных нелинейных явлений. К ним, в частности, относится нелинейное распространение тепла с режимом обост- обострения, образование ударных волн в нелинейной среде, образование уединенных волн (солитонов) в нелинейной среде с дисперсией. Некоторые нелинейные процессы приводят к стохастизации и турбулентности; в конденсированных средах возникают явления сверхпроводимости, сверхте- сверхтекучести, фазовые переходы.