Читать онлайн «Об эйнштейновых эрмитовых поверхностях»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2006. Том 47, № 1 УДК 514. 7 ОБ ЭЙНШТЕЙНОВЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ Дж. Ким Аннотация: Показано, что каждая компактная эйнштейнова эрмитова поверх- ность с постоянной конформной скалярной кривизной является кэлеровой поверх- ностью и вместе с тем есть некомпактная эйнштейнова эрмитова поверхность, не являющаяся кэлеровой поверхностью с постоянной конформной скалярной кривиз- ной. Ключевые слова: компактная эйнштейнова эрмитова поверхность, кэлерова по- верхность, постоянная конформная скалярная кривизна, некомпактная эйнштейно- ва эрмитова поверхность, некэлерова поверхность. 1. Введение. Риманова версия теоремы Гольдберга — Сакса [1] гласит, что автодуальная часть тензора Вейля эйнштейновой эрмитовой метрики вы- рожденна. Отсюда следует, что в компактном случае всякая такая метрика локально конформно кэлерова [1]. Лебрюн показал, что на самом деле лишь немногие компактные комплексные поверхности могут допускать эйнштейновы метрики, которые являются эрмитовыми, но не кэлеровыми [2]. Единствен- ным известным примером служит поверхность Хирцебрука с метрикой Пейджа [3]. В данной работе мы покажем, что каждая эйнштейнова эрмитова поверх- ность с постоянной конформной скалярной кривизной является кэлеровой по- верхностью и что, в отличие от компактного случая, существует некомпактная эйнштейнова эрмитова и некэлерова поверхность с постоянной конформной ска- лярной кривизной. Точнее, будут доказаны Теорема 1. Пусть (M, J, g) — эйнштейнова эрмитова поверхность с посто- янной конформной скалярной кривизной. Тогда поверхность (M, J, g) кэлерова. Теорема 2. Евклидово пространство R4 допускает эйнштейнову эрмитову некэлерову структуру (J, g) с постоянной конформной скалярной кривизной. Напомним, что эрмитову поверхность (M, J, g) называют эйнштейновой эр- митовой, если риманова метрика g, согласованная с комплексной структурой J, является эйнштейновой относительно ее связности Леви-Чивита, а конформная скалярная кривизна эрмитовой поверхности (M, J, g) — скалярной кривизной относительно g канонической структуры Вейля, ассоциированной с эрмитовой структурой (J, g) [4]. Конформная скалярная кривизна в общем случае непосто- янна и указывает меру отличия компактной эйнштейновой эрмитовой поверх- ности от кэлеровой. 2. Предварительные сведения. Пусть (M, J, g) — эрмитова поверх- ность (т. е. эрмитово вещественное четырехмерное многообразие) с комплекс- ной структурой J и согласованной с ней римановой метрикой g. Обозначим This study is supported by Kangwon National University. c 2006 Ким Дж. 82 Дж. Ким через Š кэлерову форму M , определенную равенством Š(X, Y ) = g(X, JY ) для векторных полей X, Y . Мы всегда будем рассматривать M с ориентаци- ей, определяемой комплексной структурой J так, что форма объема M равна dV = 21 Š ∧ Š.