Читать онлайн «Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 4»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть 4 • Уравнения и неравенства с параметрами • Доказательство неравенств • Системы уравнений • Целочисленные задачи Издание десятое, дополненное Москва 2014 ББК 22. 1 я 729 УДК 373. 3 Учебно-методическое пособие Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по мате- матике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их реше- ний). Часть 4. Уравнения и неравенства с параметрами. Дока- зательство неравенств. Системы уравнений. Целочисленные зада- чи. Изд. 10-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносо- ва”. 2014. - 84 c. В пособии рассматриваются уравнения и неравенства с параметрами, доказательство неравенств, системы урав- нений, целочисленные задачи для письменного и устно- го экзамена. Предпринята попытка систематизации типов встречающихся задач и схем их решений. Схема решений уравнений определенного вида подобрана таким образом, чтобы решение было наиболее простым. Решения каждого типа задач по этим схемам приведены в разделе “Ответы, указания, решения” в конце пособия. Предназначено для абитуриентов МГУ, выпускников школ при подготовке к ЕГЭ, для слушателей подготови- тельных отделений и курсов, учащихся математических классов. Рецензент: д. ф. -м. н. , Богатый С. А. 1702070000 − 08 Г Без объявл. 3Ш7(03) − 02 ISBN 5-87597-024-3 ⃝ c Галеев Э. М. , 2014 г. ⃝ c Издательство “Попечительский совет мех-мат. ф-та МГУ”, 2014 г. Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 17 Уравнения с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . 7 17. 1 Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . 7 17. 2 Квадратичные уравнения . . . . . . . . . . . 8 17. 3 Дробно-рациональные уравнения . . . . . . . 10 17. 4 Уравнения с модулем . . . . . . . . . . . . . . 11 17. 5 Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . 12 17. 6 Показательные уравнения . . . . . . . . . . . 14 17. 7 Логарифмические уравнения . . . . . . . . . 14 17. 8 Тригонометрические уравнения . . . . . . . . 15 17. 9 Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 18 17. 10∗ Количество корней в задаче . . . . . . . . . . 20 18 Неравенства с параметром . . . . . . . . . . . . . . . 25 18. 1 Линейные неравенства . . . . . . . . . . . . . 25 18. 2 Квадратичные неравенства . . . . . . . . . . 25 18. 3 Дробно-рациональные неравенства . . . . . . 27 18. 4 Неравенства с модулем . . . . . . . . . . . . . 28 18. 5 Иррациональные неравенства . . . . . . . . . 29 18. 6 Показательные неравенства . . . . . . . . . . 30 18. 7 Логарифмические неравенства . . . . . . . . 31 18. 8 Тригонометрические неравенства . . . . . . . 31 19 Доказательство неравенств . . . . . . . . . . . . . . . 32 19. 1 Неравенства для средних . . . . . . . . . . . . 32 19. 2 Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 19. 3 Применение производной . . . . . . . . . . . . 35 20 Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 4 20. 1 Симметрические уравнения и системы . . . . 36 20. 2 Однородные системы . . . . . . . . . . . . . . 38 20. 3 Системы уравнений высших порядков . . . . 38 20. 4 Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . 41 20. 5 Применение геометрии . . . . . . . . . . . . . 42 21 Целочисленные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 21. 1 Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 21. 2 Целочисленные уравнения и неравенства . . 46 21. 2. 1 Линейные уравнения . . . . . . . . . 46 21. 2. 2 Квадратичные уравнения . . . . . . 50 21. 2. 3 Разные задачи . . . . . . . . . . . . . 52 21. 3 Целые числа, делимость . . . . . . . . . . . . 56 Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Предисловие В пособии рассматриваются уравнения и неравенства с парамет- рами, доказательство неравенств, системы уравнений, целочис- ленные задачи для письменного и устного экзамена.