Читать онлайн «Курс лекций по высшей алгебре»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико–математический факультет Кафедра Высшей алгебры Курс лекций по высшей алгебре Лектор — Эрнест Борисович Винберг Летописец — Бибиков Павел Витальевич (группа 212) II курс, 2 поток, отделение математики (2006 – 2007 гг. )  Лекция 1. 1. Определение и примеры групп. Группой называется множество G с операцией умножения, удовле- творяющей условиям 1) (ab)c = a(bc) (ассоциативность), 2) ∃ e (единица) : ae = ea = a ∀ a ∈ G, 3) ∀a ∈ G ∃ a−1 ∈ G (обратный элемент) : aa−1 = a−1 a = e. Группа G называется коммутативной (или абелевой), если ab = = ba ∀a, b ∈ G. Аддитивной группой называется множество G с операцией сложения, удовлетворяющей условиям 1) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность) 2) ∃ 0 (нуль) : a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ G 3) ∀a ∈ G ∃ (−a) ∈ G (противоположный элемент) : a + (−a) = = (−a) + a = 0. Обычно аддитивная группа предполагается абелевой: a + b = b + + a ∀a, b ∈ G. Подмножество H группы G называется подгруппой, если 1) ab ∈ H ∀a, b ∈ H, 2) a−1 ∈ H ∀a ∈ H, 3) e ∈ H. Подгруппа сама является группой относительно той же операции. Отображение f : G → H называется изоморфизмом группы G на группу H, если 1) f биективно, 2) f (ab) = f (a)f (b) ∀a, b ∈ G. Свойства изоморфизма: f (e) = e, f (a−1 ) = f (a)−1 . Примеры. 1. Z (по сложению) — абелева группа. По определению, всякое кольцо является абелевой группой по сложению. 2. R+ = R \ {0} — абелева группа по умножению. По определению, со- вокупность ненулевых элементов любого поля K является абелевой группой по умножению и обозначается через K ∗ . 3. T = {z ∈ C : |z| = 1} — подгруппа в C∗ . 1  4. Cn = {z ∈ C : z n = 1} — подгруппа в T. 5. Векторы плоскости (или пространства) образуют абелеву группу относительно сложения. П определению, всякое векторное простра- нство является абелевой группой по сложению. 6. S(X) — группа преобразований (биективных отображений в себя) множества X (единица — idX ). В частности, S({1, 2, . . . , n}) = Sn — симметрическая группа подстановок степени n. Всякая подгруппа группы S(X) называется группой преобразований множества X. 7. Isom E2 (Isom E3 ) — группа движений евклидовой плоскости (про- странства). Isom+ E2 (Isom+ E3 ) — подгруппа собственных (сохра- няющих ориентацию) движений. 8. Группа симметрий правильных многоугольников (или многогран- ников): P ⊂ E2 (E3 ). Sym P = {g ∈ Isom E2 (E3 ) : gP = P }. Dn — группа симметрий правильного n-угольника (группа диэдра). |Dn | = 2n. Cn — это группа вращений правильного n-угольника. |Cn | = n. 9. Кристаллографические группы (группы симметрий кристалличе- ских структур). 10. GL(V ) — группа невырожденных линейных преобразований n-мер- ного векторного пространства над полем K. GL(V ) ≃ GLn (K) — группа невырожденных матриц n × n над полем K. 11.