Читать онлайн «Числовые ряды и собственные интегралы: Методические указания»

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные интегралы» Ростов–на–Дону 2007 Р. М. Г а в р и л о в а, Г. С. К о с т е ц к а я. Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные интегралы». Ростов н/Д: УПЛ ЮФУ, 2007. Печатается по решению кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ от апреля 2007 г. (протокол № )  Оглавление 1 Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. 1 Определение ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. 2 Простейшие свойства рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. 3 Необходимое условие сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. 4 Признаки сравнения положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. 5 Признаки сходимости положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1. 6 Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1. 7 Абсолютная и условная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. 1 Несобственные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. 2 Несобственные интегралы второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3  1 Числовые ряды 1. 1 Определение ряда Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная последователь- ность чисел a1 , a2 , . . . , an , . . . , соединенных знаком сложения: ∞ X a1 + a2 + . . . + an + . . . = an . (1) n=1 Числа a1 , a2 , . . . , an , . . . называются членами ряда, а член an — общим или n-м членом ряда. Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда: n X S1 = a1 ; S2 = a1 + a2 ; . . . ; Sn = a1 + a2 + . . . + an = ak .