Читать онлайн «Об одном эквивалентном условии плоской метрики»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2003. Том 44, № 5 УДК 514. 1 ОБ ОДНОМ ЭКВИВАЛЕНТНОМ УСЛОВИИ ПЛОСКОЙ МЕТРИКИ Х. Ким, Дж. Ким Аннотация: Доказано, что на 8-мерном многообразии с нулевой эйлеровой харак- теристикой каждая семиплоская метрика должна быть плоской. Ключевые слова: 8-мерное многообразие, нулевая эйлерова характеристика, се- миплоская метрика, плоская метрика. 1. Введение Локальная геометрия многообразия дает информацию о его глобальной то- пологии. Так, обобщенная теорема Гаусса — Бонне [1, 2] утверждает, что эйле- рова характеристика χ компактного ориентированного риманова многообразия M 4k может быть представлена интегралом 2 [(2k)!]2 Z χ= trace(∗R2k ∗ R2k ) dV, V 4k M где V — объем евклидовой единичной 4k-сферы, dV — элемент объема на M , звездочка означает ∗-оператор Ходжа и R2k — 2k-оператор кривизны. Если R2k коммутирует с ∗, т. е. R2k ∗ = ∗R2k , то будем говорить, что выполнено условие Торпа, метрику называть торповой метрикой или метрикой Торпа, а многооб- разие — торповым многообразием или многообразием Торпа. В 4-мерном случае торпова метрика эйнштейнова [3, 4], и в размерности 4k, более высокой, чем 4, торповы многообразия изучались в [4]. С другой стороны, если R2k антиком- мутирует с ∗, т. е. R2k ∗ = − ∗ R2k , будем называть это условие антиусловием Торпа, метрику — антиторповой метрикой, а многообразие — антиторповым многообразием. Будем в дальнейшем риманову метрику называть полуплоской, если она скалярно-плоская и конформно-плоская, иными словами, ее скалярная кривизна и тензор Вейля равны нулю. В частности, в размерности 4 антитор- пова метрика полуплоская, верно и обратное. В размерности 4k, более высо- кой, чем 4, однако, антиторпова метрика не обязательно будет полуплоской, и обратно. Пусть, например, T 2k+1 — плоский тор и M 2k−1 — компактное ори- ентированное неплоское риманово многообразие. Тогда риманово произведение T 2k+1 × M 2k−1 будет антиторповым многообразием. Однако, вообще говоря, метрика произведения не будет полуплоской. С другой стороны, пусть S 4k — стандартная 4k-сфера и H 4k — стандартное 4k-гиперболическое многообразие. Тогда метрика произведения S 4k и H 4k полуплоская, но вместе с тем не антитор- пова. Риманову метрику на компактном ориентированном многообразии M 4k The authors wish to acknowledge the financial support of the Korea Research Foundation made in the program year of 1998. c 2003 Ким Х. , Ким Дж. Об одном эквивалентном условии плоской метрики 1047 назовем семиплоской, если она удовлетворяет условию полуплоской метрики и антиусловию Торпа. Семиплоская метрика не обязательно плоская.