Читать онлайн «Решение многомерного разностного бигармонического уравнения методом Монте-Карло»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2001. Том 42, № 5 УДК 518:517. 948 РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНОГО РАЗНОСТНОГО БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ МОНТЕ–КАРЛО Г. А. Михайлов, В. Л. Лукинов Аннотация: Построены и обоснованы новые весовые методы Монте-Карло для оценки решения задачи Дирихле для многомерного разностного бигармонического уравнения на основе моделирования «блуждания по решетке». Векторные вари- анты построенных алгоритмов непосредственно распространяются на разностные метагармонические уравнения с сохранением вида условий несмещенности оценок и ограниченности их дисперсий. В связи с этим построен простой алгоритм для оценки первого собственного числа многомерного разностного оператора Лапласа. Кроме того, построены специальные алгоритмы «блуждания по решетке», позво- ляющие при определенных условиях оценивать решения задачи Дирихле для би- гармонического уравнения со слабой нелинейностью и для задач со смешанными краевыми условиями, включающими условие Неймана. Библиогр. 6. В работе построены и обоснованы новые весовые методы Монте-Карло для оценки решения задачи Дирихле для многомерного разностного бигармониче- ского уравнения на основе моделирования «блуждания по решетке». Векторные варианты построенных алгоритмов непосредственно распространяются на раз- ностные метагармонические уравнения с сохранением вида условий несмещен- ности оценок и ограниченности их дисперсий. В связи с этим построен простой алгоритм для оценки первого собственного числа многомерного разностного оператора Лапласа. Кроме того, построены специальные алгоритмы «блужда- ния по решетке», позволяющие при определенных условиях оценивать решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения со слабой нелинейностью и для задач со смешанными краевыми условиями, включающими условие Нейма- на. Отметим, что весовые алгоритмы метода Монте-Карло сравнительно эф- фективны для оценки решения многомерной задачи в небольшом числе точек, для оценки параметрических производных и для решения задач со случайны- ми в допустимых пределах параметрами. Они идеально распараллеливаются путем простого распределения моделируемых траекторий по вычислительным процессорам. 1. Оценка решения в одной точке Рассмотрим краевую задачу Дирихле для бигармонического уравнения: (∆ + c)(∆ + b)u = −g, ∆u + bu|Γ = φ, u|Γ = ψ, (1. 1) Работа выполнена при поддержке ФЦП «Интеграция» (№ 257) и гранта «Ведущие на- учные школы» (№ 00–15–96173). c 2001 Михайлов Г. А. , Лукинов В. Л. 1126 Г. А. Михайлов, В. Л. Лукинов и эквивалентную ей систему уравнений: ∆u + bu = v, u|Γ = ψ, ∆v + cv = −g, v|Γ = φ (1. 2) n в области D ∈ R с границей Γ, причем M = max[Re(b), Re(c)] < c∗ , где −c∗ — первое собственное значение оператора Лапласа для области D, r = (x1 , . . . , xn ) ∈ D.