Читать онлайн «Знак и геометрический смысл кривизны»

М. Громов Знак и геометрический смысл кривизны «Lezione Leonardesca» Лекции, прочитанные в Милане в июне 1990 года Перевод с английского В. А. Зайцева Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика» Издательский дом «Удмуртский университет» 1999 УДК 513 Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 128 с. Небольшая книга известного французского математика Михаила Громова представляет собой расширенный вариант лекций «Lezione Leonardesca», прочитанных автором в Милане в июне 1990 г. Здесь изучены основы римановой геометрии, теории Морса, элементы дифференциальной топологии. Материал изложен на очень доступном уровне. Книга может быть рекомендована при введении в более специальные разделы геометрии и топологии. Книга предназначена для студентов, аспирантов и полезна для научных сотрудников и преподавателей. ISBN 5-93972-020-Х © Перевод на русский язык: В. А. Зайцев, 2000 © НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000 Содержание Введение 5 § 0. Вторая основная форма и выпуклость в евклидовом пространстве 5 § -. Обобщенная выпуклость 13 § 1. Напоминание о длине, расстоянии и римановой метрике 24 § 2. Эквидистантная деформация и секционная кривизна K(V) 32 §2-. Влияние кривизны K(V) на малые шары в V 41 § 3. Многообразия с положительной секционной кривизной . 44 §3~. Функция расстояния и теорема Александрова-Топоногова 53 о §3^. Сингулярные метрические пространства с К ^ 0 56 §32. Теорема о сфере и эквидистантная деформация погруженных гиперповерхностей 58 § 4. Отрицательная секционная кривизна 64 § 5. Кривизна Риччи 69 § 6. Положительная скалярная кривизна 81 §6~. Спиноры и оператор Дирака 90 § 7. Оператор кривизны и связанные с ним инварианты ... 95 §7~. Гармонические отображения и комплексифицированная кривизна Кс 100 о §7^. Гармонические отображения в многообразия с Кс ^ 0 . . 111 о о §7^. Классы метрик, заданные выпуклыми конусами 115 Литература 117 Введение Тензор кривизны риманова многообразия — это маленькое чудовище (поли) линейной алгебры, полный геометрический смысл которого остается невыясненным. Тем не менее, можно определить, используя кривизну, несколько важных классов многообразий, которые затем могут быть исследованы в духе старомодной синтетической геометрии без привлечения аппарата бесконечно малых, к которым относятся тензоры кривизны. Подобная взаимосвязь между бесконечно малыми величинами и наглядными характеристиками геометрических объектов встречается повсюду в геометрии и анализе. Простейший пример — эквивалентность двух определений монотонной функции %>0<=* Я*0 < /(*а) ПРИ *i < *а- Далее, бесконечно малые второго порядка приводят к геометрически более интересному явлению выпуклости. ^>0^f (|(*i +*а)) < \ (f(ti) + /(*»))• Наш следующий пример лежит на самой границе римановой геометрии, так что ознакомимся с ним более подробно. § 0. Вторая основная форма и выпуклость в евклидовом пространстве Основной инфинитезимальный инвариант гладкой гиперповерхности W С R™ («гипер» означает, что codimW = п — dimW = 1) — это вторая основная форма П = ILW, которая является полем квадратичных форм П№ на касательных пространствах TW(W) С Tw(Rn) = W1.