Читать онлайн «Весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения Больцмана»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2002. Том 43, № 3 УДК 518:517. 948 ВЕСОВЫЕ МЕТОДЫ МОНТЕ–КАРЛО ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА Г. А. Михайлов, С. В. Рогазинский Аннотация: Построены весовые модификации статистического моделирования ан- самбля взаимодействующих частиц, связанного с приближенным решением нели- нейного уравнения Больцмана. Для этого было использовано специальное инте- гральное уравнение, полученное на основе расширения фазового пространства си- стемы путем введения новой координаты — номера пары частиц, осуществляющих элементарное взаимодействие. Весовой метод дает, в частности, возможность эф- фективно изучать зависимость вычисляемых функционалов от параметров задачи, например от параметров дифференциальных сечений взаимодействующих пар. На этой основе можно приближенно решать обратные задачи относительно параметров модели. Можно также увеличивать частоту моделирования сортов частиц, дающих основной вклад в изучаемые функционалы. Библиогр. 9. Работа посвящена построению и обоснованию весовых модификаций мето- да прямого статистического моделирования (ПСМ) для приближенного реше- ния нелинейного кинетического уравнения Больцмана [1–3]. Следует отметить, что ранее уже были построены модификации ПСМ, в которых отдельным ча- стицам присваивались «веса», связанные с искусственным перераспределением типов частиц в начальный момент времени [1–3]. Соответствующие весовые оценки не являются статистически эквивалентными оценкам ПСМ. Их состо- ятельность, т. е. асимптотическая (по числу взаимодействующих частиц) эк- вивалентность оценкам ПСМ достигается путем специальной рандомизации на основе «физических» соображений баланса. В работе [2] рассмотрена наиболее общая и в значительной степени обосно- ванная весовая модификация ПСМ такого типа под названием метода «допол- нительной переменной». С точки зрения общей теории весовых статистических методов решения интегральных уравнений [4, 5] эта модификация также явля- ется методом прямого моделирования для модифицированного интегрального уравнения [2], определяющего математическую модель эволюции ансамбля вза- имодействующих частиц. Для построения и обоснования алгоритмов ПСМ с целью нахождения при- ближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана может быть использовано линейное интегральное уравнение [6], которое эквивалент- но N -частичному уравнению Леонтовича [7], с регуляризованным по простран- ственным переменным эффективным сечением парных столкновений [8]. Од- нако использовать это уравнение непосредственно для построения стандартных Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 00–01–00797), Интеграционного гранта СО РАН 2000 (№ 43) и гранта «Ведущие научные школы» (№ 00–15–96173).