Читать онлайн «О числе счетных моделей полных теорий с конечными предпорядками Рудина-Кейслера»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2007. Том 48, № 2 УДК 510. 67 О ЧИСЛЕ СЧЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПОЛНЫХ ТЕОРИЙ С КОНЕЧНЫМИ ПРЕДПОРЯДКАМИ РУДИНА ––– КЕЙСЛЕРА С. В. Судоплатов Аннотация: Целью настоящей работы является обобщение классификации эле- ментарных полных теорий с конечным числом счетных моделей относительно двух основных характеристик (предпорядков Рудина — Кейслера и функций распреде- ления числа предельных моделей) на произвольный случай с конечным предпо- рядком Рудина — Кейслера. Устанавливается, что те же самые характеристики играют ключевую роль в рассматриваемом случае, и доказывается совместность любых конечных предпорядков Рудина — Кейслера с произвольными функциями распределения f , удовлетворяющими условию rang f ⊆ ω ∪ {ω, 2ω }. Ключевые слова: счетная модель, полная теория, предпорядок Рудина — Кей- слера. В работах [1, 2] раскрыт механизм построения всех возможных теорий с ко- нечным числом попарно неизоморфных счетных моделей относительно предпо- рядков Рудина — Кейслера и функций распределения числа предельных моде- лей. Целью настоящей работы является обобщение основного результата рабо- ты [2], переносящее классификацию теорий с конечным числом счетных моделей на случай произвольной теории с конечным предпорядком Рудина — Кейслера, имеющим не более чем счетное или континуальное число предельных моделей для каждого класса эквивалентности. Теорема 1. Для любого конечного квазиупорядоченного множества hX, ≤i с наименьшим элементом x0 и наибольшим классом x̃1 в упорядоченном фактор- множестве hX, ≤i/ ∼ по отношению ∼ (где x ∼ y ⇔ x ≤ y и y ≤ x), а также для любой функции f : X/ ∼→ ω ∪ {ω, 2ω }, удовлетворяющей условиям f (x̃0 ) = 0, f (x̃1 ) > 0 при |X| > 1, f (ỹ) > 0 при |ỹ| > 1, существуют полная малая теория T и изоморфизм g : hX, ≤if → RK(T ) такие, что IL(g(ỹ)) = f (ỹ) для любого ỹ ∈ X/ ∼. Мы будем использовать без пояснений стандартную теоретико-модельную терминологию [3], а также понятия и обозначения из работ [1, 2]. Все рассматриваемые теории T будут считаться полными, имеющими бес- конечные модели и малыми, т. е. со счетным числом типов (|S(T )| = ω). Как обычно, через I(T, ω) будет обозначаться число попарно неизоморфных счетных моделей теории T . Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (коды проектов 02–01–00258, 05–01–00411), а также Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации (код проекта НШ–4787. 2006. 1). c 2007 Судоплатов С. В. 418 С. В. Судоплатов Очевидно, если теория T мала, то для любого типа p ∈ S(T ) существует простая модель Mp над реализацией типа p. Напомним (см. [1]), что для любых типов p, q ∈ S(T ) мы пишем p ≤RK q и говорим, что тип p не превосходит типа q относительно предпорядка Рудина — Кейслера или тип p подчиняется типу q, если модель Mq содержит реали- зацию типа p.