Читать онлайн «Итерационные методы для операторных уравнений с сопряженно-факторизованной структуре»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2 УДК 518. 61 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ С СОПРЯЖЕННО–ФАКТОРИЗОВАННОЙ СТРУКТУРОЙ А. Н. Коновалов Аннотация: Для эллиптических операторных уравнений в конечномерных евкли- довых пространствах предложен и обоснован новый класс экономичных итераци- онных методов нахождения нормального обобщенного решения. Основная идея заключается в переходе от эллиптического оператора краевой задачи к его энер- гетическому расширению, которое имеет сопряженно-факторизованную структуру. Этот переход позволяет свести исходную операторную задачу к системе сопряжен- ных операторных уравнений. Для сопряженной системы удается построить сходя- щиеся экономичные классы итерационных методов, которые не выводят из подпро- странств разрешимости. Именно этим подпространствам принадлежат нормальные решения сопряженных задач. Библиогр. 25. § 1. Постановка задачи Пусть в конечномерном евклидовом пространстве H ∗ ищется решение ли- нейного операторного уравнения Au = f, u ∈ H ∗, f ∈ H ∗, (1. 1) с вырожденным оператором A. Как известно [1], пространство H ∗ может быть представлено в виде прямой суммы ортогональных подпространств H ∗ = im A ⊕ ker A∗ = im A∗ ⊕ ker A. (1. 2) Представлениям (1. 2) соответствуют ортогональные разложения f = f1 + f2 , f1 ∈ im A, f2 ∈ ker A∗ , (f1 , f2 ) = 0; (1. 3) u = u1 + u2 , u1 ∈ im A∗ , u2 ∈ ker A, (u1 , u2 ) = 0. Известно также [1], что ортогональность f ядру оператора A∗ является необ- ходимым и достаточным условием разрешимости (совместности) операторного уравнения (1. 1). Для совместной задачи (1. 1) f ∈ im A и в (1. 3) f2 = 0. Если же f2 6= 0, то задачу (1. 1) называют несовместной, решения такой задачи в обычном смысле не существует. Обобщенным решением задачи (1. 1) называют элемент ū ∈ H ∗ , который доставляет минимум функционалу метода наименьших квадратов, т. е. ū : J(u) = kAu − f k2 −→ min, u ∈ H ∗. (1. 4) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00508) и программы Министерства образования России «Уни- верситеты России — фундаментальные исследования» (код проекта 15). c 2000 Коновалов А. Н. Итерационные методы для операторных уравнений 371 Для ū из (1. 4) Aū = f1 , f1 ∈ im A ←→ (f, ϕ) = 0 ∀ϕ : A∗ ϕ = 0, (1. 5) и решение задачи (1. 4) (или эквивалентной совместной задачи (1. 5)) опреде- ляется с точностью до произвольного элемента u2 ∈ ker A. Если ϕ1 , . . . , ϕk — ортонормированный базис ker A∗ , k = dim(ker A∗ ), то в (1. 5) k X f1 = f − αi ϕi , αi = (f, ϕi ). (1. 6) i=1 Обобщенное решение из (1. 4), норма которого минимальна, называют нормаль- ным.