Читать онлайн «Функциональные последовательности и ряды: Методические указания»

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности и ряды» Ростов–на–Дону 2007 Р. М. Г а в р и л о в а, Г. С. К о с т е ц к а я. Методические указания по теме «Функциональные последовательности и ряды». Ростов н/Д: УПЛ ЮФУ, 2007. Печатается по решению кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ от апреля 2007 г. (протокол № )  Оглавление 1 Функциональные последовательности и ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Свойства функциональных последовательностей и рядов . . . . . . . . . 8 3 Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Функциональные свойства степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 Разложение основных элементарных функций в степенные ряды . 21 7 Применение степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 п. 1 Функциональные последовательности и ряды Рассмотрим последовательность {fn (x)}. Членами этой последователь- ности являются функции, определенные на некотором [a, b]. Зафиксиру- ем произвольно x0 ∈ [a, b] и рассмотрим числовую последовательность {fn (x0 )}. Определение 1. Последовательность {fn (x)} называется сходящейся в точке x = x0 , если сходится числовая последовательность {fn (x0 )}. Если {fn (x)} сходится в любой точке [a, b], то очевидно, что ее преде- лом будет некоторая функция переменного x, которую мы обозначим f (x). Определение 2. Последовательность {fn (x)} называется сходящейся к функции f (x) на [a, b], если для ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε, x) : |f (x) − fn (x)| < ε, n > N = N (ε, x). Определение 3. Последовательность {fn (x)} называется равномерно сходящейся к функции f (x) на [a, b], если для ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) : |f (x) − fn (x)| < ε, n > N = N (ε), ∀ x ∈ [a, b]. Понятие равномерной сходимости имеет простую геометрическую ин- терпретацию: f (x) − ε < fn (x) < f (x) + ε, n > N (ε). (1) y Двойное неравенство y = f (x) + ε (1) утверждает, что все y = f (x) функции данной после- y = f (x) − ε довательности, начиная с некоторого номера N , зависящего только от ε, попадут в нарисованную 0 a b x криволинейную полосу шириной 2ε сразу на всем протяжении [a, b]. 4  sin nx Пример 1.