Читать онлайн «Об одном классе систем дифференциальных уравнений и об уравнениях с запаздывающим аргументом»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2006. Том 47, № 1 УДК 517. 91+517. 929 ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко, В. А. Лихошвай, Т. В. Котова, Ю. Е. Хропова Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обык- новенных дифференциальных уравнений больших размеров и решениями диффе- ренциального уравнения с запаздывающим аргументом. Доказано, что решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений при неогра- ниченном увеличении числа уравнений сводится к решению начальной задачи для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Рассматриваемый класс систем содержит, в частности, систему дифференциальных уравнений, воз- никающую при моделировании многостадийного синтеза вещества. Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, обобщенные решения. § 1. Введение В работе мы продолжаем изучать связи между системами обыкновенных дифференциальных уравнений больших размеров и дифференциальными урав- нениями с запаздывающим аргументом dy(t) = f (t, y(t), y(t − τ )), t > τ. (1. 1) dt Первый результат в этом направлении получен при изучении системы диф- ференциальных уравнений, возникающей при моделировании многостадийного синтеза вещества без ветвления [1, 2]. Эта система имеет вид dx1 n−1 = g(xn ) − x1 , dt τ dxi n−1 = (xi−1 − xi ), i = 2, . . . , n − 1, (1. 2) dt τ dxn n−1 = xn−1 − θxn . dt τ В [1] установлено, что если неограниченно увеличивать число уравнений n в системе (1. 2) и рассматривать только последние компоненты решения задачи Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (коды проектов 04–01–00458, 05–07–98011, 05–07–98012, 05–04–08084), программы Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 8273), NSF:FIBR N EF–0330786. c 2006 Демиденко Г. В. , Лихошвай В. А. , Котова Т. В. , Хропова Ю. Е. Об одном классе систем дифференциальных уравнений 59 Коши с нулевыми начальными данными x|t=0 = 0, то мы получим равномерно сходящуюся последовательность xnn (t) → y(t), n → ∞, t ∈ [0, T ], при этом предельная функция y(t) удовлетворяет тождеству dy(t) ≡ −θy(t) + g(y(t − τ )), t > τ. dt Следовательно, функция y(t) является решением дифференциального уравне- ния с запаздывающим аргументом (1. 1) в случае, когда правая часть имеет вид f (t, u, v) = −θu + g(v).