Читать онлайн «Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2 УДК 519. 542 РАСПОЗНАВАНИЕ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП ПРОСТОЙ СТЕПЕНИ ПО ПОРЯДКАМ ИХ ЭЛЕМЕНТОВ А. С. Кондратьев, В. Д. Мазуров Аннотация: Доказывается, что конечная группа, множество порядков элементов которой такое же, как у знакопеременной группы Ar простой степени r ≥ 5, изо- морфна Ar . Библиогр. 10. К 60-летию Юрия Леонидовича Ершова Для конечной группы G обозначим через ω(G) множество всех порядков элементов группы G. Это множество замкнуто и частично упорядочено отно- сительно делимости и поэтому однозначно определяется подмножеством µ(G), состоящим из максимальных относительно делимости элементов из ω(G). Цель работы состоит в доказательстве следующего результата. Теорема. Пусть G — конечная группа, для которой ω(G) = ω(Ar ), где Ar — знакопеременная группа степени r и r > 3 — простое число. Тогда G изоморфна Ar . Доказательство. Предположим противное. Пусть G — противоречащий пример. В силу [1–3] можно предполагать, что r ≥ 17. Напомним, что множество ω(H) конечной группы H определяет граф Грюн- берга — Кегеля GK(H), вершинами которого служат простые делители порядка группы H, и два простых числа p, q соединены ребром, если H содержит элемент порядка pq. Обозначим через s(H) число связных компонент в графе GK(H), а через πi = πi (H), i = 1, . . . , s(H), — i-ю связную компоненту. Для группы H четного порядка положим 2 ∈ π1 . Обозначим через µi = µi (H) множество тех n ∈ µ(H), для которых каждый простой делитель числа n принадлежит πi . В рассматриваемом случае граф GK(G) несвязен и имеет компоненту связ- ности, состоящую из единственного простого числа r. Наше доказательство основано на описании групп P с несвязным графом GK(P ) [4, 5] и следствия из основного результата работы [6], утверждающего, что для любого натураль- ного числа n ≥ 119 сегмент [n, 1. 073n] содержит по меньшей мере одно простое число. Лемма 1. Если n ≥ 6 — натуральное число, то существует по меньшей мере s(n) простых чисел pi таких, что (n + 1)/2 < pi < n, где s(n) = 6 для n ≥ 48, s(n) = 5 для 42 ≤ n ≤ 47, Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00550). c 2000 Кондратьев А. С. , Мазуров В. Д. 360 А. С. Кондратьев, В. Д. Мазуров s(n) = 4 для 38 ≤ n ≤ 41, s(n) = 3 для 18 ≤ n ≤ 37, s(n) = 2 для 14 ≤ n ≤ 17, s(n) = 1 для 6 ≤ n ≤ 13. В частности, для любого натурального числа n > 6 существует нечетное простое число p такое, что (n + 1)/2 < p < n − 1, и для любого натурального числа n > 3 существует нечетное простое число p такое, что n − p < p < n. Доказательство. Предположим вначале, что n > 739, и положим n = 185u+v, где u ≥ 4 — натуральное число, а 0 ≤ v < 185. Согласно [6] существуют простые числа p1 , . . . , p6 такие, что 119u < p1 < 128u < p2 < 138u < p3 < 149u < p4 < 160u < p5 < 172u < p6 < 185u ≤ n.