Читать онлайн «Курс лекций по математическому анализу, (для студентов 1-го курса)»

Московский физико-технический институт (государственный университет) О. В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О. В. Бесов УДК 517. Методические указания по математическому анализу. Курс лекций по математическому анализу. (для студентов 1- го курса). МФТИ. М. , 2004. 65 с. Изложение указанных в заглавии разделов курса матема- тического анализа, изучаемых в МФТИ в первом семестре, от- личается от изложения этих вопросов в учебниках и учебных пособиях. c Московский физико-технический институт, 2004  3 Содержание Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Глава 1. Множество действительных чисел 6 § 1. 1. Аксиоматика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 § 1. 2. Верхние и нижние грани . . . . . . . . . . . . 8 § 1. 3. Система вложенных отрезков . . . . . . . . . 11 § 1. 4. Связь между различными принципами непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 § 1. 5. Счетные и несчетные множества . . . . . . . 14 Глава 2. Предел последовательности . . . . 18 § 2. 1. Определение предела последовательности . 18 § 2. 2. Свойства пределов, связанные с неравенствами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 § 2. 3. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями . . . . . . . . 22 § 2. 4. Предел монотонной последовательности . . 23 § 2. 5. Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 § 2. 6. Подпоследовательности . . . . . . . . . . . . . 26 § 2. 7. Теорема Больцано–Вейерштрасса . . . . . . 29 § 2. 8. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 § 2. 9. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями . . . . 31 Глава 3. Предел функции . . . . . . . . . . . 37 § 3. 1. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . 37 § 3. 2. Элементарные функции и их классификация 38 § 3. 3. Понятие предела функции . . . . . . . . . . . 38 § 3. 4. Свойства пределов функции . . . . . . . . . . 41 § 3. 5. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 § 3. 6. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . 43 § 3. 7. Пределы монотонных функций . . . . . . . . 44 § 3. 8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций . . . . . . . . . 45 Глава 4. Непрерывные функции . . . . . . . 49 § 4. 1. Непрерывность функции в точке . . . . . . . 49 § 4. 2. Предел и непрерывность сложной функции 50 § 4. 3. Односторонняя непрерывность и точки разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 § 4. 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке 53 § 4. 5. Обратные функции . . . . . . . . . . . . . . . 55 § 4. 6.