Читать онлайн «Элементарные асимптотические методы: Учебное пособие»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ А. С. Романов ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Учебное пособие. Новосибирск  ПРЕДИСЛОВИЕ Раздел "Асимптотические методы"входит в курс лекций по теории функ- ций комплексного переменного, читаемый на втором курсе физического факультета НГУ. Существует достаточно много учебников, каждый из которых практически полностью содержит классические разделы теории функций комплексного переменного, включаемые в данный курс лекций. При этом довольно сложно порекомендовать какое-либо учебное пособие, в котором основы асимптотических методов изложены, с одной стороны, достаточно полно, с другой стороны, достаточно просто – на уровне, со- ответствующем математической подготовке студентов второго курса фи- зического факультета. Данный текст можно рассматривать как попытку написания учебного пособия, удовлетворяющего перечисленным выше тре- бованиям. Вошедший в пособие материал получился несколько большим чем тот, который традиционно удается прочитать за 4 лекции, выделяе- мые на изучение асимптотических методов. При написании пособия в той или иной мере использованы все литературные источники, приведенные в конце текста. Однако основную часть материала можно найти в работах [3], [4], [6] и [7]. Структурно пособие разделено на 5 небольших глав, каждую из кото- рых можно читать практически независимо от других. В рамках каждой главы используется сквозная двойная нумерация, при которой вторая циф- ра указывает на номер главы. По этой причине найти решение в явном виде часто не удается. Однако в случае, когда известно, что некоторые из пара- метров очень малы или, наоборот, очень велики математическое описание явления обычно удается упростить. Методы, позволяющие получить доста- точно простое, удобное и в существенном правильное описание изучаемого явления, используя стремление параметра либо к нулю либо к бесконечно- сти, называют асимптотическими. Пример 1. Если на тело массы m действуют возвращающая его в поло- жение равновесия сила, пропорциональная (с коэффициентом k) величине отклонения, и сила сопротивления среды, пропорциональная (с коэффи- циентом α) квадрату скорости, то уравнение движения имеет вид mẍ + α(ẋ)2 + kx = 0. В случае, когда среда "разрежается", т. е. α → q0, движение становится k близким к гармоническим колебаниям частоты m , описываемым урав- нением mẍ + kx = 0.