Читать онлайн «Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Методические указания»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Выпуск 6: Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными Составитель: Ширапов Д. Ш. Улан-Удэ, 2002 г. Введение Дифференциальные уравнения с частными производными встречаются в самых различ- ных областях естествознания, причем решение их в аналитическом виде (в виде конечной формулы) удается только в самых простых случаях. Поэтому становятся особенно важными численные (приближенные) методы решения этих уравнений. В методических указаниях будут кратко описаны численные методы решения некоторых задач для дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. При этом будут рассмотрены только методы решения линей- ных дифференциальных уравнений с частными производными. Наиболее широко распространенным и простым методом численного решения дифферен- циальных уравнений с частными производными является метод сеток или метод конечных разностей, поэтому основной упор, в методических указаниях, сделан на пояснение и описа- ние этого метода. 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными В общем случае дифференциальное уравнение с частными производными имеет вид F ( x, y, u , u x , u y , u xx , u xy , u yy ) = 0 (1. 1) где x, у - независимые переменные, u - искомая функция, ux , uy , uxx , uxy , uyy – её первые и вторые частные производные по аргументам x и y. Решением уравнения (1. 1) называется функция и= u(х, у), обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность в пространстве Охуu (инте- гральная поверхность) (рис. 1). Рис. 1. Уравнение (1. 1) называется вполне линейным, если оно первой степени относительно ис- комой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т. е. если это уравне- ние может быть записано в виде ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u A + 2B +C 2 +a +b + cu = F ( x, y ) , (1. 2) ∂x 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y причем коэффициенты А, В, С, а, Ь, с могут зависеть лишь от х и у. В частном случае, если эти коэффициенты не зависят от х и у, то уравнение (1. 2) будет линейным дифференциаль- ным уравнением с постоянными коэффициентами. Подробнее рассмотрим линейное диффе- ренциальное уравнения (1. 2). Пусть D=АС-В2 - дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции D линейное дифференциальное уравнение (1. 2) относится в заданной области к одному из следующих типов: D > 0 — эллиптический тип; D = 0 — параболический тип; D < 0— гиперболический тип; D не сохраняет постоянного знака—смешанный тип. Тип линейного уравнения (1. 2) является его важной особенностью и сохраняется при лю- бом невырожденном преобразовании ξ=φ(х, у), η=ψ(х, у), (1. 3) т.