Читать онлайн «Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений: Методические указания к лабораторной работе»

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯− Механико-математический факультет Кафедра теоретической механики Лабораторная работа ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ a11x1 +a12x2 +... +a1mxm = f1, a21x1 +a22x2 +... +a2mxm = f2, KKKKKKKKKKKK am1x1 +am2x2 +... +ammxm = fm. Нижний Новгород 2003 УДК 519. 6 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Лабора- торная работа для студентов дневного отделения. Специальность: 01. 02 − при- кладная математика, системный программист; 01. 03 − механика. Библ. назв. 6. Сост. А. Ф. Ляхов, Солдатов Е. В. , Чернова Е. В. − Н. Новгород: ННГУ, 1999. −16c. ©Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 1997 2  Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [1,2] A ⋅ x = f , (1) где A − матрица m ×m, x = ( x1 , x2 ,... xm ) T − искомый вектор, f = ( f1 , f 2 ,... , f m )T − заданный вектор. Будем предполагать, что определитель матрицы A отличен от нуля, т. е. решение системы (1) существует. Методы численного решения системы (1) делятся на две группы: прямые методы («точные») и итерационные методы. Прямыми методами называются методы, позволяющие получить решение системы (1) за конечное число арифметических операций. К этим методам от- носятся метод Крамера, метод Гаусса, LU-метод и т. д. Итерационные методы (методы последовательных приближений) состоят в том, что решение системы (1) находится как предел последовательных приближений x (n ) при n → ∞ , где n номер итерации. При использовании методов итерации обычно задается некоторое малое число ε>0 и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка x ( n) − x < ε . К этим методам относятся метод Зейделя, Якоби, метод верхних релаксаций и т. д. Следует заметить, что реализация прямых методов на компьютере приводит к решению с погрешностью, т. к. все арифметические операции над переменны- ми с плавающей точкой выполняются с округлением. В зависимости от свойств матрицы исходной системы эти погрешности могут достигать значительных ве- личин. Метод Гаусса Запишем систему Ax=f, в развернутом виде a11 x1 + a12 x2 + ... + a1m xm = f1 , a21 x1 + a22 x2 + ... + a2m xm = f2 , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . am1 x1 + am2 x2 + ... + amm xm = f m . Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Предположим, что a11 ≠ 0 . Последовательно умножая первое уравне- a ние на − i1 и складывая с i-м уравнение, исключим x1 из всех уравнений кро- a11 ме первого. Получим систему a11 x1 + a12 x2 + ... + a1 xm = f 1 , m ( 1) a22 x2 + ... + a2(1m) xm = f 2(1) , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .