Читать онлайн «Метод верхних релаксаций решения систем линейных уравнений: Методические указания к лабораторной работе»

3 МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯− Механико-математический факультет Кафедра теоретической механики Лабораторная работа Метод верхних релаксаций решения систем линейных уравнений a11x1 +a12x2 +... +a1mxm = f1, a21x1 +a22x2 +... +a2mxm = f2, KKKKKKKKKKKK am1x1 +am2x2 +... +ammxm = fm. Нижний Новгород, 2003  4 УДК 519. 633 Метод верхних релаксаций решения систем линейных уравнений. Лабораторная работа для студентов дневного отделения. Специальность: 01. 02 − прикладная математика; 01. 03−механика. /Сост. А. Ф. Ляхов, Петрова О. С. , Е. В. Чернова. − Н. Новгород, ННГУ, 2003г. Библ. назв. 2. Работа посвящена изучению метода верхних релаксаций решения систем линейных алгебраических уравнений. Работа выполняется в специально созданной программе оболочке. Эта программа, позволяет тестировать студенческую программу и проводить исследования устойчивости решения. В программе оболочке предусмотрена возмож- ность использования новых методов визуализации исследований. Составители: доцент Ляхов А. Ф. , студент Петрова О. С. инженер Чернова Е. В. Рецензент доцент Чекмарев Д. Т. ©Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 2003. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений  5 Ax = f , (1) где А − матрица размерности m × m , x=(x1,x2,... ,xn)T− вектор решения, f=(f1,f2,... ,fn)T − вектор пра- вых частей. Численные методы решения данной системы принято разделять на два класса: прямые ме- тоды («точные») и итерационные. Прямыми методами называются методы, позволяющие получить решение системы уравне- ний (1) за конечное число арифметических операций. К прямым методам относятся метод Крамера, метод Гаусса, LU- метод, метод прогонки и ряд других методов. Основным недостатком прямых методов является то, что для нахождения решения необходимо выполнить большое число операций. Например, метод Крамера требует порядка m!m операций, а метод Гаусса − порядка m 3 3 операций. Если m велико (m>>20), то погрешности вычислений будут очень сильно влиять на конечный результат. Суть итерационных методов состоит в том, что решение системы (1) находится как предел последовательных приближений x(n) при n→∞, где n − номер итерации. Применение итерацион- ных методов требует задания начального значения неизвестных х(0) и точности вычислений ε>0. Вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка x ( n) − x < ε . (2) Основное достоинство итерационных методов состоит в том, что точность искомого реше- ния задается. Число итераций n=n(ε), которое необходимо выполнить для получения заданной точности ε, является основной оценкой качества метода.