Читать онлайн «К теории попеременно-треугольного итерационного метода»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2002. Том 43, № 3 УДК 519. 3 К ТЕОРИИ ПОПЕРЕМЕННО–ТРЕУГОЛЬНОГО ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА А. Н. Коновалов Аннотация: Построен новый класс адаптивных попеременно-треугольных мето- дов, оптимизация которого в отличие от известных в настоящее время подходов, не требует априорной спектральной информации. При этом сохраняется та же оценка скорости сходимости, что и при наличии априорной информации. Библиогр. 17. В конечномерном гильбертовом пространстве H рассматривается задача об отыскании решения операторного уравнения Ax = f, A : H → H, (1) где A — линейный, самосопряженный (A = A∗ ), положительно определенный оператор (A > 0). Для нахождения решения задачи (1) будем использовать неявный итерационный процесс xm+1 − xm B + Axm = f, B : H → H. (2) τ В (2) m — номер итерации, τ > 0 — итерационный параметр, а B — некоторый обратимый оператор. По определению обращение оператора B в (2) должно быть существенно проще, чем непосредственное обращение исходного оператора A в (1). При построении B будем исходить из аддитивного разложения A = A1 + A2 , A∗1 = A2 . (3) В силу (3) (Ay, y) = 2(A1 y, y) = 2(A2 y, y). Поэтому в (3) A1 > 0, A2 > 0. Пусть в (2) B = (E + ωA1 )(E + ωA2 ), ω > 0, Ey = y, y ∈ H. (4) Поскольку A = A∗ > 0, то вместе с (3) это дает B = B ∗ > 0. Соотношения (2)– (4) задают попеременно-треугольный итерационный метод (ПТМ) [1] решения задачи (1). § 1. Оптимизация ПТМ с использованием априорной информации Если xm − x = z m — вектор погрешности, то из (1), (2) получаем B(ω)z m+1 = B(ω)z m − τ Az m (1. 1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00508) и Межвузовской научно-технической программы «Фун- даментальные исследования высшей школы в области естественных и гуманитарных наук». Университеты России (тема 991116). c 2002 Коновалов А. Н. К теории попеременно-треугольного итерационного метода 553 или v m+1 = v m − τ Cv m = (E − τ C)v m = S(ω, τ )v m . 1 1 1 1 1 1 Здесь v m = A 2 z m , C = A 2 B −1 A 2 или v m = B 2 z m , C = B − 2 AB − 2 . Поскольку kv m+1 k = k(E − τ C)v m k ≤ kS(ω, τ )k kv m k, (1. 2) то оптимизацию ПТМ (2)–(4) можно связать с минимизацией какой-либо нормы оператора шага S(ω, τ ). В основе такого подхода лежат 1 1 Теорема 1. 1 [2, с. 340].