Читать онлайн «Стереографическая проекция»

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 53 Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и Н. Д. СЕРГЕЕВА СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1973 513 P 64 УДК 513 АННОТАЦИЯ В брошюре рассказывается об одном часто применяемом виде проектирования сферы на плоскость, обладающем следую- следующими замечательными свойствами: при этом проектировании углы между линиями на сфере изображаются равными им угла- углами между линиями на плоскости, а круги на сфере изображаются кругами и пря- прямыми на плоскости. В ней рассказывается также о применениях этого проектирования в астрономии и географии. В последнем разделе брошюры рассказывается об ана- аналогичном проектировании плоскости Ло- Лобачевского на обычную плоскость. Брошюра рассчитана на школьников старших классов и студентов младших курсов вузов. Для получения изображения фигуры при таком проектировании следует выбрать в пространстве точку, называемую центром проекции, со- соединить эту точку прямыми со всеми точками проектируе- проектируемой фигуры и найти точки пересечения этих прямых с данной плоскостью; полученное изображение называется проекцией фигуры на данную плоскость. Если проектируемая фигура — окружность, то ее проекция — линия пересечения плоскости с поверх- поверхностью, состоящей из прямых, проходящих через центр проекции и точки окружности. Такая поверхность назы- называется круговым конусом, прямым, если перпен- перпендикуляр, опущенный из центра проекции на плоскость окружности, падает в ее центр, и наклонным в остальных случаях. Линии пересечения такой поверх- поверхности с плоскостью, вообще говоря, не являются окруж- окружностями, эти линии называются коническими сече- сечениями и, если секущая плоскость не проходит через вершину конуса, бывают кривыми линиями трех видов: эллипса ми, если эти линии замкнуты, парабола- м и, если эти линии состоят из одной ветви, простираю- простирающейся в бесконечность, и гиперболами, если эти ли- линии состоят из двух ветвей, простирающихся в беско- бесконечность (в предположении, что прямые, соединяющие вершину конуса с данной окружностью, бесконечные); окружности можно рассматривать как частный случай эллипсов. Однако имеется одна замечательная проекция, при которой окружности всегда проектируются в виде окруж- окружностей или прямых линий. Такую проекцию мы полу- получим, если будем рассматривать только такие окружности, которые лежат на некоторой сфере (такие окружности являются линиями пересечения этой сферы с плоскостя- плоскостями), за центр проекции примем одну из точек той же сферы, а за плоскость проекции примем плоскость, ка- касающуюся сферы в диаметрально противоположной точ- точке или любую параллельную ей плоскость, не проходя- проходящую через центр проекции. В том случае, когда пло- плоскость окружности проходит через центр проекции, она проектируется в виде прямой линии, в остальных слу- случаях окружность на сфере проектируется в виде окруж- окружности на указанной плоскости.