Читать онлайн «К истории теории Ли дифференциальных уравнений с частными производными»

К истории теории С. Ли дифференциальных уравнений с частными производными. Демидов С. С. Сб. «Историко-математические ис- исследования», вып. XXIII. М. , «Наука», 1978, с. 87—117. Рассматривается формирование теории дифференциальных урав- уравнений с частными производными 1-го порядка в работах С. Ли. Особое внимание уделяется возникновению понятия контактного преобразова- преобразования. Библ. Я6 няяп К ИСТОРИИ ТЕОРИИ С. ЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ С. С. Демидов Одной из основных тем творчества Софуса Ли была теория дифференциальных уравнений с частными произ- производными, где наиболее значительные результаты были до- достигнуты им для уравнений первого порядка. В историко- математической литературе эти исследования С. Ли отражения не получили. Больше повезло им в сочинениях по истории аналитической механики (см. , например, [1]), где этим результатам и, в первую очередь, теории канони- канонических, а также бесконечно малых преобразований уде- уделяется значительное место. Результаты эти, опубликован- опубликованные в основном в 70-е годы прошлого столетия, образовали законченную теорию уравнений первого порядка. Эта теория явилась не только естественным завершением более чем векового развития вопроса, отмеченного именами Даламбера, Эйлера, Лагранжа, Пфаффа, Коши и Якоби, но и базой дальнейшего развития общей теории уравне- уравнений с частными производными, разрабатываемой в рам- рамках дифференциальной геометрии. Первый этап эволюции теории дифференциальных уравнений с частными производными — построение тео- теории Лагранжа. Он завершается работами И. Ф. Пфаффа A814—1815), О. Коши A819) и К. Якоби A837), решивших задачу интегрирования нелинейных уравнений с любым чис- числом переменных. Второй этап связан почти исключитель- исключительно с именем Якоби, его основное содержание составляет развитие предложенного им метода («второго метода Яко- Якоби») интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с любым числом переменных. Побудительной причиной для создания этого метода, а следовательно, и для нового этапа в истории теории был внешний момент — задача, диктовавшаяся потребностя- потребностями аналитической механики *. Новый метод позволил 1 Дело в том, что согласно теории Гамильтона — Якоби решение системы уравнений движения сводилось к интегрированию одного единственного уравнения с частными производными первого по- 87 также построить теорию систем нелинейных уравнений первого . порядка. Третий, завершающий этап эволюции теории связан с именем Софуса Ли. Начало этому этапу положила осоз- осознаваемая многими необходимость выработки новой точки зрения, позволяющей дать ясное в идейном отношении изложение результатов Якоби, желание глубже понять взаимосвязь этих результатов с теорией Лагранжа, на- наконец, смутное ощущение наличия скрытого нерва, оп- определяющего развитие всей теории, наличия той невыяс- невыясненной пока структуры, которая, проявляясь в обличив ли теории Лагранжа, метода ли Пфаффа, или теорий Коши и Якоби, составляет подтекст всего рассматриваемого процесса.