Читать онлайн «Диалгебры и связанные с ними тройные системы»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2008. Том 49, № 4 УДК 512. 57 ДИАЛГЕБРЫ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ТРОЙНЫЕ СИСТЕМЫ А. П. Пожидаев Аннотация. Изучаются некоторые алгебраические системы, приводящие к раз- личным тройным системам, близким к ассоциативным. В качестве таких алгеб- раических систем рассматриваются некоторый класс алгебр, содержащий алгеб- ры Лейбница — Пуассона, диалгебры, конформные алгебры и некоторые тройные системы. Описываются все однородные структуры тернарных алгебр Лейбница, возникающие на диалгебре. Для этого, в частности, используется структура Лейб- ница — Пуассона на диалгебре. В качестве следствия находится структура тройной лиевой системы на произвольной диалгебре, конформной ассоциативной алгебре и классически ассоциативной тройной системе. Также описываются на диалгебре все однородные структуры (ε, δ)-Фрейденталя — Кантора тройных систем. Ключевые слова: диалгебра, тернарная алгебра Лейбница, тройная лиева систе- ма, тройная система Фрейденталя — Кантора, обертывающая алгебра. Введение Прошло не одно десятилетие, прежде чем проявился интерес к изучению не(анти)коммутативных алгебр Ли, так называемых алгебр Лейбница (необхо- димые определения см. ниже). Данный класс алгебр является довольно ин- тересным, несмотря на отсутствие простых объектов (в классическом понима- нии), отличных от алгебр Ли. Как известно, для алгебр Ли существует понятие универсальной обертывающей ассоциативной алгебры. По теореме Пуанкаре — Биркгофа — Витта для любой алгебры Ли L существует ассоциативная алгеб- ра A такая, что L изоморфна некоторой подалгебре алгебры Ли A(−) . Лодэй нашел универсальную обертывающую для алгебры Лейбница (см. [1]). Роль таких обертывающих играют диалгебры — алгебраические системы с двумя ас- социативными операциями, согласованными между собой. П. С. Колесниковым недавно показано, что любая диалгебра, в свою очередь, может быть получена из некоторой ассоциативной конформной алгебры [2]. С другой стороны, понятие алгебры Ли обобщено различными способами и авторами на случай n-арной алгебры. Одним из наиболее интересных яв- ляется обобщение, предложенное В. Т. Филипповым [3]. Основная идея этого обобщения состоит в том, что операторы правого умножения являются диффе- ренцированиями n-арной алгебры аналогично тому, что имеет место в случае алгебр Ли. Такие алгебры в настоящее время называются алгебрами Филиппо- ва. Структурная теория конечномерных алгебр Филиппова над алгебраически Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 05–01–00230) и СО РАН (комплексный интеграционный проект 1. 9 и грант для молодых ученых, постановление Президиума №29 от 26/01/2006). c 2008 Пожидаев А. П. Диалгебры и связанные с ними тройные системы 871 замкнутым полем характеристики 0 аналогична структурной теории алгебр Ли, хотя и значительно беднее.