ISBN 978-5-94057-491-0 Учебное пособие посвящено классическим задачам коммутативной алгебры и теории инвариатов. Помимо начальных сведений о градуированных алгебрах, их рядах Пуанкаре и многочленах Гильберта, приводятся доказательства теоремы Маколея о размерностях компонент стандартных градуированных алгебр, формулы Молина для ряда Пуанкаре алгебры инвариантов конечной линейной группы и теоремы Нагаты—Стейнберга о том, что алгебра инвариантов некоторой явно заданной линейной алгебраической группы не является конечно порожденной. Последний результат является контрпримером к 14-й проблеме Гильберта. Пособие содержит более 40 задач, к каждой из которых даны подробные указания. Излагаемый материал доступен студентам младших курсов физико-математических специальностей университетов. Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников, интересующихся алгеброй, геометрией и комбинаторикой. ББК 22. 14 ISBN 978-5-94057-491-0 9"785940l,574910"> © Аржанцев И. В. , 2009. © МЦНМО, 2009. Оглавление Введение 4 § 1. Основные понятия и примеры 8 § 2. Ряды Пуанкаре и многочлены Гильберта 16 § 3. Последовательности размерностей компонент 20 § 4. Теорема Маколея 23 § 5. Комбинаторный вариант теоремы Маколея 27 § 6. Теорема Грина 31 § 7. Алгебра инвариантов линейных преобразований 35 § 8. Формула Молина 40 § 9. Контрпример Нагаты—Стейнберга 43 § 10. Указания и комментарии к задачам 51 Предметный указатель 61 Литература 63 Введение Что такое современная математика? Это стройные теории, состоящие из цепочки определений, несложных утверждений и эффектных примеров? Или это глубокие и технически сложные теоремы, на разбор только схем доказательств которых может понадобиться несколько часов или дней? Пожалуй, это и то и другое, и трудно отыскать золотую середину, лежащую между двумя описанными крайностями. В этом пособии мы продолжаем поиск недостижимой середины. Здесь излагаются как фрагменты классических теорий, так и доказательства двух трудных результатов: теоремы Маколея о последовательностях размерностей компонент стандартных градуированных алгебр и теоремы Нагаты—Стейнберга о том, что алгебра инвариантов некоторой линейной группы не является конечно порожденной. Последний результат обеспечивает контрпример к 14-й проблеме Гильберта. В настоящее время стало возможным провести доказательства этих теорем, опираясь только на факты из курса линейной алгебры.