Читать онлайн «Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2003. Том 44, № 2 УДК 512. 542 КВАЗИРАСПОЗНАВАЕМОСТЬ ОДНОГО КЛАССА КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП ПО МНОЖЕСТВУ ПОРЯДКОВ ЭЛЕМЕНТОВ О. А. Алексеева, А. С. Кондратьев Аннотация: Доказано, что конечная группа с множеством порядков элементов, как у конечной группы L, граф простых чисел которой имеет по крайней мере три компоненты связности, обладает (единственным) неабелевым композиционным фактором, изоморфным L, за исключением случая, когда L изоморфна знакопере- менной группе степени 6. Ключевые слова: конечная группа, множество порядков элементов, квазираспо- знаваемость, граф простых чисел Пусть G — конечная группа. Обозначим через ω(G) множество всех по- рядков элементов группы G. Множество ω(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда G содержит элемент порядка pq. Обозначим число компонент связности графа GK(G) через t(G), а множество его связных компонент — через {πi (G) | 1 ≤ i ≤ t(G)}; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 ∈ π1 (G). Множество ω(G) частично упорядочено от- носительно делимости и однозначно определяется подмножеством µ(G) своих максимальных элементов. Обозначим через µi (G) множество всех тех чисел n ∈ µ(G), все простые делители которых принадлежат πi (G). Грюнберг и Кегель доказали следующую структурную теорему для конеч- ных групп с несвязным графом простых чисел. Теорема Грюнберга — Кегеля [1, теорема A]. Если G — конечная груп- па с несвязным графом GK(G), то верно одно из следующих утверждений: (а) G — группа Фробениуса; (б) G = ABC, где A и AB — нормальные подгруппы группы G, AB и BC — группы Фробениуса с ядрами A и B и дополнениями B и C соответственно; (в) G является расширением нильпотентной π1 (G)-группы посредством группы A, где Inn(P ) ≤ A ≤ Aut(P ), P — простая неабелева группа с t(G) ≤ t(P ) и A/P — π1 (G)-группа. Простые неабелевы группы с несвязным графом простых чисел описаны в [1, 2]. Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга — Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по множеству порядков элементов (см. , например, обзор [3]). Конечная группа G называется распознаваемой (по множеству порядков элементов), если для любой конечной группы H c ω(H) = ω(G) имеем H ∼ = G. В. Д. Мазуров выдвинул следующую гипотезу. c 2003 Алексеева О. А. , Кондратьев А. С. 242 О. А. Алексеева, А. С. Кондратьев Гипотеза В. Д. Мазурова. Конечные простые группы с несвязным гра- фом Грюнберга — Кегеля, как правило, распознаваемы. Первым этапом доказательства этой гипотезы, по-видимому, будет доказа- тельство условия квазираспознаваемости, более слабого, чем распознаваемость.