Читать онлайн «Методические разработки для учащихся по теме ''Метод подобия''»

"п^тол подое:т,: Решение* многих задач из планиметрии основывается на нахождении подобных фигур и на использовании своИстз этих оОигур. Причем, часяо при решении одной и той же задачи приходится пользоваться теоремами о подобии неоднократно♦ . Приведем в качестве примера две полезные теоремы, доказательство которых основывается на методе подобия» Теотэема I* Пусть прямая пересекает стороны L0&1 и [flCJ треугольника ABC в точках J? , Q и продолжение стороны £ 2>С\ в точке R/ ; тогда -имеет место соотношение 'РН • 1^01 _ lE>Rj IflPl * IflQI ~ \СМ Доказательство: Проведем через точку. /? прямую, параллелвяую прямой ( PR- ). Возьмем точку J) ее пересечения с прямой (PR, ). Треугольники В PR' и Вп J) подобны (угол ^ О, у них общий и *№^<-Ш т. к. л?И)Ц (Й1> ), поэтому IJtM, _ /82)/ ^ , откуда в силу равенства IABI -IbPI+lfiPl; 1ВРГ IBM ^ (ВУ=1ВЯ1+1ЯЪ1; Получим (I) \ВР\ /BR/ шр1 9/ям Аналогично треугольники CQft и СЙЪ подобны, и имеет место ра- ввнство jjxfi. - L^jJ , откуда в силу раввяств/Ш ~/ff0-*ICQIt /СЦМСйНЛТ* следует (2) ШГ Ш Поделив почленно равенство (I) на равенство (2), получим искомое соотношение. Замечают Доказанная теорема является частным случаем теоремы Менелая, которая утверждает, что если прямая пересекает стороны треугольника шт их продолжения и делит две стороны, считая от 3. третьей, в отношениях /& , fl , то она делит третью сторону, считая от первой, в отношении Wb • /£ . Упражнения. Попробуйте доказать теорему Менелая. Теорема 2. Если две прямые, проходящие через точку Р , пересекают окружность: одна - в точках Л и й (точки совпадают, если прямая касается окружности), а другая - в точках 8 и 8 (возможно совпадающих), то /РА/'/РЛ7=/РвНРв7 Доказательство: Без ограничения общности можно считать, что точка Р не лежит на окружности. Пусть точки # t ft t В t В попарно яе совпадают. Докажем, что треугольники подобяв. Заменим, в случае, когда точка Р лежит внутри круга, углы 4IBB ,^6РЛ - вертикальные, поэтому конгруэнтны, а углы ^О и ^п впмсаяы в окружность и опираются на одну и ту же дугу, значит, лВ & *А ♦ В случав, когда точка Р лежит вне круга, угол l. Р у треугольников Pfl В и РВЯ общий, а углы aR , *В конгруэнтны, т. к. вписаны в окружность и опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, по признаку подобия, (по двум углам) треугольники РЛЪ и РМ подобны, поэтому ilev * т 'охкуда оладу" искомое равенство. Остается рассмотреть случай, когда точки В * В совпадают, а точки Л и Л различны. Тогда прямая ( ВР) (^удет касательной и точка Р Зудет лежать вне окружности. Проведем через точку 6 и центр окружности О прямую (06 ) -и возьмем ее вторую • 4. точку*) пересечения с окружностью. Соединим точки Л is. JD прямо!, /гол ^тЬЯВ - прямой, т. к. вписан в окружность и опирается на диаметр. Поэтому, треугольник Ло<0 _ прямоугольный, значит, ( 3 ) flbD+flbb =90 • По свойству касательной к окружности угол ^P6J) - прямой, следовательно, (4 ) АВР 'J ому (3) и (4) JBP*fi$B Углы вписаны в окружность и опираются на одну и ту ду17, значит, ВЪВ^пйВ , что влечет, что уттЯВР ъАА В конгруэнтны. Угол ^ г у треугольников РВЛ vi РйВ общий, поэтому эти треугольники подобны по признаку подобия по двум углам. Значит, 0j3-[ := 1£Ш , откуда следует искомое равенство. IP6I 1РЙ1 Разберем еще две задачи, решение которых основано на методе подобия. \ I.