Читать онлайн «О решетках, вложимых в решетки подгрупп. III. Нильпотентные полугруппы»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2007. Том 48, № 1 УДК 512. 56 О РЕШЕТКАХ, ВЛОЖИМЫХ В РЕШЕТКИ ПОДПОЛУГРУПП. III. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ПОЛУГРУППЫ М. В. Семёнова Аннотация: Показано, что класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп n- нильпотентных полугрупп, является конечно базируемым многообразием для лю- бого n < ω. В. Б. Репницкий показал, что любая решетка вложима в решетку подполугрупп некоторой коммутативной нильполугруппы индекса 2. В своем до- казательстве он использовал результат Бредихина и Шайна, утверждающий, что любая решетка вложима в решетку подпорядков подходящего частичного порядка. Мы предлагаем прямое доказательство результата Репницкого, не использующее теорему Бредихина — Шайна, что дает ответ на один вопрос, поставленный в мо- нографии Л. Н. Шеврина и А. Я. Овсянникова. Ключевые слова: решетка, полугруппа, подрешетка, многообразие. 1. Введение Пусть hS, ·i — полугруппа и X ⊆ S. Через hXi мы обозначаем подполугрупу в S, порожденную множеством X. Тогда нетрудно видеть, что hXi = {s0 · . . . · sn | n < ω, si ∈ X для i ≤ n}. Полугруппа hS, ·i является нильполугруппой индекса 2, если x2 = 0 для лю- бого x ∈ S. Если n < ω положительно, то полугруппа hS, ·i называется n- нильпотентной, если x0 · . . . · xn−1 = 0 для любых x0 , . . . , xn−1 ∈ S. Если полугруппа hS, ·i содержит нулевой элемент 0, то через Sub0 (S) мы обозначаем решетку непустых подполугрупп hS, ·i. Настоящая работа является продолжением [1, 2]. Здесь мы приведем пря- мое доказательство результата В. Б. Репницкого [3, теорема 6. 1] о том, что класс нильполугрупп индекса 2 решеточно универсален. В комбинации с результата- ми работ [1, 2] это дает положительный ответ на вопрос VIII. 7, поставленный в монографии Л. Н. Шеврина и А. Я. Овсянникова [4]. Для фиксированного положительного натурального числа n пусть Ln обо- значает класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп n-нильпотентных полугрупп, а (Ln )Fin — класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп конечных n-нильпотентных полугрупп. Проблема 28. 14. 2 в [4] связана с нахо- ждением описания классов Ln и (Ln )Fin . Легко видеть, что класс Ln замкнут Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам президента РФ и го- сударственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–2112. 2003. 1), ИНТАС (грант 03–51–4110), Минобразования РФ (грант E 02–1. 0–32), Фонда поддержки отечествен- ной науки, а также молодежного проекта СО РАН № 11. c 2007 Семёнова М. В. Решетки подполугрупп. III 193 относительно подрешеток и прямых произведений для любого положительного n < ω. В настоящей работе мы показываем (см. теорему 6. 4), что класс Ln+1 является конечно базируемым многообразием для любого n < ω (т. е. он также замкнут относительно гомоморфных образов), и указываем конкретный базис тождеств для Ln+1 , n < ω, что класс Ln+1 ∩ Fin конечных решеток, принад- лежащих Ln+1 , совпадает с классом (Ln+1 )Fin (см.