Читать онлайн «Фазовое пространство одной обобщенной модели Осколкова»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2003. Том 44, № 5 УДК 517. 956 ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ОДНОЙ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ ОСКОЛКОВА Г. А. Свиридюк, В. О. Казак Аннотация: Показано, что фазовым пространством задачи Коши — Дирихле для уравнения ut − κut = νu − K(u) + f является простое банахово C ∞ -многообразие. Ключевые слова: полулинейное уравнение соболевского типа, фазовое простран- ство. Пусть Š ⊂ Rn — ограниченная область с границей класса C ∞ . В цилиндре Š × R рассмотрим задачу Коши — Дирихле u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Š, (0. 1) u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Š × R, (0. 2) для уравнения ut − κut = νu − K(u) + f, (0. 3) где функция u ∈ C k (Š), k ∈ N∪{∞}, такова, что K(0) = 0, hK(u), ui ≥ 0 (h·, ·i — скалярное произведение в L2 (Š)). Свободный член f = f (x) будет определен позже. Уравнение (0. 3) моделирует широкий класс процессов, главным участни- ком которых являются вязкоупругие жидкости [1]. В частности, нелинейный член в (0. 3) может иметь вид K(u) = u2m+1 или K(u) = sh u. Вообще говоря, нелинейность может быть представлена рядом ∞ X K(u) = am u2m+1 , am ∈ R+ . m=0 В [2] задача (0. 1)–(0. 3) изучена при условии κ, ν ∈ R+ . Однако в [3] отмечено, что отрицательные значения параметра κ не противоречат физическому смыслу модели. Нашей целью является изучение задачи (0. 1)–(0. 3) при κ ∈ R \ {0}, ν ∈ R+ . Как хорошо известно [4], в этом случае задача (0. 1)–(0. 3) разрешима не при всех начальных данных u0 (x). Поэтому в центре нашего внимания описание множе- ства допустимых начальных данных, понимаемого нами как фазовое простран- ство задачи (0. 2), (0. 3) [5]. Для этого мы редуцируем задачу (0. 1)–(0. 3) к задаче Коши u(0) = u0 (0. 4) c 2003 Свиридюк Г. А. , Казак В. О. Фазовое пространство одной обобщенной модели Осколкова 1125 для полулинейного операторного уравнения соболевского типа [6] Lu̇ = M u + N (u). (0. 5) Как абстрактное уравнение (0. 5), так и его конкретные интерпретации вида (0. 3) изучаются сейчас в различных аспектах (см. монографии [7–9] и библиографию там). В отличие от цитированных методов наш подход основан на теории вы- рожденных (полу)групп операторов [10]. Суть его заключается в расщеплении уравнения (0. 5) на сингулярную и регулярную составляющие и отдельном изу- чении каждой из них. Статья состоит из четырех пунктов. Первые два носят пропедевтический характер — в них содержатся результаты из [10–12], представленные в удобном для наших целей виде. В третьем пункте проводится редукция задачи (0. 1)– (0. 3) к задаче (0. 4), (0. 5).