Читать онлайн «О самоподобных жордановых кривых на плоскости»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2003. Том 44, № 3 УДК 517. 54 О САМОПОДОБНЫХ ЖОРДАНОВЫХ КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ В. В. Асеев, А. В. Тетенов, А. С. Кравченко Аннотация: Изучаются аттракторы конечной системы сжимающих подобий Sj (j = 1, . . . , n) на плоскости, удовлетворяющей условию сцепленности: для множе- ства точек {x0 , . . . , xn } и бинарного вектора (s1 , . . . , sn ), называемого сигнатурой, пара {x0 , xn } переводится отображением Sj либо в пару {xj−1 , xj } (если sj = 0), либо в пару {xj , xj−1 } (если sj = 1). Описаны ситуации, в которых из жорда- новости такого аттрактора следует, что он имеет ограниченное искривление, т. е. является квазиконформным образом отрезка прямой. Ключевые слова: аттрактор, самоподобный фрактал, условие открытого множе- ства, кривые с ограниченным искривлением, квазиконформное отображение, ква- зидуга, мера Хаусдорфа, хаусдорфова размерность, размерность подобия В работе изучаются аттракторы конечной системы Sj (j = 1, . . . , n) сжима- ющих подобий полного метрического пространства X , удовлетворяющие сле- дующему условию сцепленности: для некоторого множества {x0 , . . . , xn } точек пространства X , называемых вершинами, и бинарного вектора (s1 , . . . , sn ), на- зываемого сигнатурой, пара {x0 , xn } переводится отображением Sj (i = 1, . . . , n) либо в пару {xj−1 , xj } (если sj = 0), либо в пару {xj , xj−1 } (если sj = 1). Мы называем такие системы подобий ципперами. Общие свойства аттракторов си- стем сжимающих отображений в полном метрическом пространстве, включая теоремы существования и единственности аттрактора, можно найти в осново- полагающей статье Дж. Хатчинсона [1] или в монографии М. Р. Кроновера [2]. Некоторые свойства ципперов описаны в § 3. 5 статьи [1]. В общем случае, как показывает пример 1. 4, аттрактор циппера не должен быть жордановой дугой. Мы не останавливаемся в данной статье на условиях, достаточных для жорда- новости циппера, а исследуем свойства регулярности его аттрактора, которые вытекают из одного лишь требования жордановости. В § 4 описаны те ситуации на плоскости, когда аттрактор жорданова циппера является дугой с ограничен- ном искривлением, т. е. квазиконформным образом отрезка прямой. К таковым ситуациям относятся, в частности, 1) случай чередующейся сигнатуры sj−1 + sj = 1 для всех j = 1, . . . , n; 2) случай s1 + sn ≥ 1; 3) случай рациональной соизмеримости чисел Ln(|x1 − x0 |/|xn − x0 |) и Ln(|xn − xn−1 |/|xn − x0 |). В § 2 на плоскости построен пример жорданова циппера, аттрактор кото- рого не является дугой с ограниченным искривлением. В теореме 2. 2 установ- лено, что если аттрактор жорданова циппера имеет ограниченное искривление, то он является множеством конечной ненулевой α-мерной меры Хаусдорфа, где α — размерность подобия системы S, которая в этом случае совпадает с хау- сдорфовой размерностью аттрактора.