Читать онлайн «Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 3»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть 3 • Тригонометрические уравнения и неравенства • Арифметические и геометрические прогрессии • Текстовые задачи Издание одиннадцатое, дополненное Москва 2014 ББК 22. 1 я 729 УДК 373. 3 Учебно-методическое пособие Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по мате- матике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их реше- ний). Часть 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Арифметические и геометрические прогрессии. Текстовые зада- чи. Изд. 11-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова”. 2014. - 128 c. В пособии рассматриваются тригонометрические уравнения, неравенства, тригонометрические системы, а также арифметические и геометрические прогрессии, текстовые задачи. Предпринята попытка систематиза- ции типов встречающихся задач и методов их решений. Схема решений уравнений определенного вида подобра- на таким образом, чтобы решение было наиболее про- стым. Решения каждого типа задач по этим схемам при- ведены в разделе “Ответы, указания, решения” в конце пособия. Предназначено для абитуриентов МГУ, выпускни- ков школ при подготовке к ЕГЭ, для слушателей под- готовительных отделений и курсов, учащихся матема- тических классов. Рецензент: д. ф. -м. н. , Богатый С. А. 1702070000 − 08 Г Без объявл. 3Ш7(03) − 02 ISBN 5-87597-024-3 ⃝ c Галеев Э. М. , 2014 г. ⃝ c Издательство “Попечительский совет мех-мат. ф-та МГУ”, 2014 г. Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Основные тригонометрические формулы . . . . . . . . . . 7 11 Преобразование тригонометрических выражений . . 12 11. 1 Доказать тождества . . . . . . . . . . . . . . . 12 11. 2 Доказать равенства . . . . . . . . . . . . . . . 14 11. 3 Вычислить . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 12 Тригонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . 20 12. 1 Сведение к одному аргументу и одной функции 20 12. 2 Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . 22 12. 3 Введение дополнительного угла . . . . . . . . 23 12. 4 Симметрические уравнения . . . . . . . . . . 25 12. 5 Кососимметрические уравнения . . . . . . . . 25 12. 6 Универсальная тригонометрическая подста- новка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 12. 7 Разложение на множители . . . . . . . . . . . 27 12. 8 Отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 12. 8. 1 Учет ОДЗ . . . . . . . . . . . . . . . 28 12. 8. 2 Выбор корней из промежутка . . . . 30 12. 8. 3 Уравнения с модулем . . . . . . . . . 32 12. 8. 4 Иррациональные уравнения . . . . . 33 12. 8. 5 Показательные и логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 36 12. 8. 6 Дополнительные условия . . . . . . 37 12. 9 Исследование области изменения функций . 39 12. 10 Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 4 12. 11 Тригонометрическая замена в алгебраических уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 12. 12 Обратные тригонометрические функции . . 44 12. 13 Тригонометрические системы . . . . . . . . . 46 13 Тригонометрические неравенства . . . . . . . . . . . 48 13. 1 Тригонометрический круг . . . . . . . . . . . 48 13. 2 Метод интервалов на тригонометрическом круге 51 13. 3 Доказательство неравенств . . . . . . . . . . 52 13. 4 Обратные тригонометрические функции . . . 52 13. 5 Оценки тригонометрических функций . . . . 53 14 Арифметическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . 54 15 Геометрическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . 62 15. 1 Конечная геометрическая прогрессия . . . . 62 15. 2 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 15. 3 Арифметическая и геометрическая прогрессии 67 16 Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 16. 1 Задачи на движение . . . . . . . . . . . . . . . 70 16. 2 Задачи на движение по окружности . . . . . 81 16. 3 Задачи на производительность труда . . . . . 82 16. 4 Задачи на концентрацию растворов и сплавов 87 16. 5 Задачи на проценты . . . . . . . . . . . . . . . 90 16. 6 Целочисленные задачи . . . . . . . . . . . . . 99 Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Предисловие Часть 3 состоит из шести параграфов: тригонометрические пре- образования, уравнения, неравенства, арифметические и геомет- рические прогрессии, текстовые задачи.